【題目】已知向量,向量,且函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間及其對(duì)稱中心;
(2)在中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c且角A滿足.若,BC邊上的中線長(zhǎng)為3,求的面積S.
(3)將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位,向下平移個(gè)長(zhǎng)度單位,再橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)縮短為原來的后得到函數(shù)的圖像,令函數(shù)在的最小值為,求正實(shí)數(shù)的值.
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間:,對(duì)稱中心;(2);(3)
【解析】
(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義,結(jié)合誘導(dǎo)公式及正余弦二倍角公式化簡(jiǎn)即可得函數(shù)解析式.進(jìn)而求得單調(diào)區(qū)間及對(duì)稱中心.
(2)將代入(1)中所得解析式,即可由求得.結(jié)合向量的加法與減法運(yùn)算和BC邊上的中線長(zhǎng),即可求得.再根據(jù)三角形面積公式即可求解.
(3)根據(jù)函數(shù)的平移變換,即可求得的解析式.代入后表示出的解析式.轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)性質(zhì),通過對(duì)分類討論并結(jié)合最小值,即可求得的值.
(1)因?yàn)?/span>代入向量,向量,結(jié)合誘導(dǎo)公式及正余弦的二倍角公式化簡(jiǎn)可得
所以
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足
解得
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
令,解得
則對(duì)稱中心
(2),得,
則,
∴
又①,
BC上的中線長(zhǎng)為3,則②
由①②知:
即,所以
∴
(3)由題意將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位可得
向下平移個(gè)長(zhǎng)度單位,可得
再橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)縮短為原來的后得到函數(shù),則
則,
所以,,
①當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),有最小值,解得.
②當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),有最小值,
(舍去),
綜上可得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列命題,其中所有正確命題的序號(hào)是__________.
①拋物線的準(zhǔn)線方程為;
②過點(diǎn)作與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線僅有1條;
③是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),以為圓心作與拋物線準(zhǔn)線相切的圓,則此圓一定過定點(diǎn).
④拋物線上到直線距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)數(shù)函數(shù)(且)和指數(shù)函數(shù)(且)互為反函數(shù).已知函數(shù),其反函數(shù)為.
(1)若函數(shù)定義域?yàn)?/span>,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(2)若為定義在上的奇函數(shù),且時(shí),.求的解析式.
(3)定義在上的函數(shù),如果滿足:對(duì)任意的,存在常數(shù),都有成立,則稱函數(shù)是上的有界函數(shù),其中為函數(shù)的上界.若函數(shù),當(dāng)時(shí),探究函數(shù)在上是否存在上界,若存在求出的取值范圍,若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) f (x) = x ex (xR)
(Ⅰ)求函數(shù) f (x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅱ)若x (0, 1), 求證: f (2 x) > f (x);
(Ⅲ)若x1 (0, 1), x2(1, +∞), 且 f (x1) = f (x2), 求證: x1 + x2 > 2.
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【題目】某校100名學(xué)生期中考試語(yǔ)文成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績(jī)分組區(qū)間是:[50,60][60,70][70,80][80,90][90,100].
(1)求圖中a的值;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)的平均分;
(3)若這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(x)與數(shù)學(xué)成績(jī)相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(y)之比如下表所示,求數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?/span>[50,90)之外的人數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(, , ),是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)當(dāng), 時(shí),求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(Ⅱ)若,求在上的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)節(jié)能降耗技術(shù)改造后,在生產(chǎn)某產(chǎn)品過程中的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸)的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如表所示:
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
若根據(jù)表中數(shù)據(jù)得出y關(guān)于x的線性回歸方程為0.7x+a,若生產(chǎn)7噸產(chǎn)品,預(yù)計(jì)相應(yīng)的生產(chǎn)能耗為( )噸.
A.5.25B.5.15C.5.5D.9.5
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某景區(qū)內(nèi)有一半圓形花圃,其直徑為,是圓心,且.在上有一座觀賞亭,其中.計(jì)劃在上再建一座觀賞亭,記.
(1)當(dāng)時(shí),求的大;
(2)當(dāng)越大,游客在觀賞亭處的觀賞效果越佳,求游客在觀賞亭處的觀賞效果最佳時(shí),角的正弦值.
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