【題目】已知函數(shù)(, , ),是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)當(dāng), 時(shí),求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(Ⅱ)若,求在上的最大值.
【答案】(Ⅰ)2;(Ⅱ)見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ) , ,由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)得是(0,+∞)上的增函數(shù),是(-∞,0)上的減函數(shù),由此能求出f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
(Ⅱ)當(dāng)x∈[-1,1]時(shí), ,由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)得f(x)是[-1,0]上的減函數(shù),[0,1]上的增函數(shù),由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和構(gòu)造法能求出a的取值范圍.
試題解析:
(Ⅰ),∴,∴,
當(dāng)時(shí), ,∴,故是上的增函數(shù),
當(dāng)時(shí), ,∴,故是上的減函數(shù),
, ,∴存在是在上的唯一零點(diǎn);
, ,∴存在是在上的唯一零點(diǎn),
所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.
(Ⅱ) ,
當(dāng)時(shí),由,可知, ,∴,
當(dāng)時(shí),由,可知, ,∴,
當(dāng)時(shí), ,
∴是上的減函數(shù), 上的增函數(shù),
∴當(dāng)時(shí), , 為和中的較大者.
而,設(shè)(),
∵ (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立),
∴在上單調(diào)遞增,而,
∴當(dāng)時(shí), ,即時(shí), ,∴.
∴在上的最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓,直線.
(1)若直線與圓交于不同的兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),求實(shí)數(shù)的值;
(2)若是直線上的動(dòng)點(diǎn),過作圓的兩條切線、,切點(diǎn)為、,試探究:直是否過定點(diǎn).若存在,請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo);否則,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某鎮(zhèn)在政府“精準(zhǔn)扶貧”的政策指引下,充分利用自身資源,大力發(fā)展養(yǎng)殖業(yè),以增加收入.政府計(jì)劃共投入72萬元,全部用于甲、乙兩個(gè)合作社,每個(gè)合作社至少要投入15萬元,其中甲合作社養(yǎng)魚,乙合作社養(yǎng)雞,在對(duì)市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)研分析發(fā)現(xiàn)養(yǎng)魚的收益、養(yǎng)雞的收益與投入(單位:萬元)滿足.設(shè)甲合作社的投入為(單位:萬元),兩個(gè)合作社的總收益為(單位:萬元).
(1)若兩個(gè)合作社的投入相等,求總收益;
(2)試問如何安排甲、乙兩個(gè)合作社的投入,才能使總收益最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量,向量,且函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間及其對(duì)稱中心;
(2)在中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c且角A滿足.若,BC邊上的中線長(zhǎng)為3,求的面積S.
(3)將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位,向下平移個(gè)長(zhǎng)度單位,再橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)縮短為原來的后得到函數(shù)的圖像,令函數(shù)在的最小值為,求正實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若三棱錐的四個(gè)面都為直角三角形,平面,,,則三棱錐中最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列說法:
①“”是“”的充分不必要條件;
②定義在上的偶函數(shù)的最大值為30;
③命題“,”的否定形式是“,”.其中正確說法的個(gè)數(shù)為
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和, 是等差數(shù)列,且.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種體育比賽的規(guī)則是:進(jìn)攻隊(duì)員與防守隊(duì)員均在安全線的垂線上(為垂足),且分別位于距為和的點(diǎn)和點(diǎn)處,進(jìn)攻隊(duì)員沿直線向安全線跑動(dòng),防守隊(duì)員沿直線方向攔截,設(shè)和交于點(diǎn),若在點(diǎn),防守隊(duì)員比進(jìn)攻隊(duì)員先到或同時(shí)到,則進(jìn)攻隊(duì)員失敗,已知進(jìn)攻隊(duì)員速度是防守隊(duì)員速度的兩倍,且他們雙方速度不變,問進(jìn)攻隊(duì)員的路線應(yīng)為什么方向才能取勝?
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