Question

【題目】已知函數(shù)，，．

（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)的圖象在兩點(diǎn)，處的切線分別為，，若，，且，求實(shí)數(shù)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）先化簡(jiǎn)分段函數(shù)，分段分別求導(dǎo)，即再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)：當(dāng)，無(wú)零點(diǎn)，單調(diào)減；當(dāng)，有一個(gè)零點(diǎn)，列表分析得在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；最后綜合函數(shù)圖像得函數(shù)單調(diào)區(qū)間（2）不等式恒成立問題，一般轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問題，即，因此轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值：當(dāng)，時(shí)，，求其定于區(qū)間上零點(diǎn)為1，列表分析函數(shù)單調(diào)性，確定函數(shù)極值，即最值，最后解不等式得負(fù)數(shù)的取值范圍；（3）由導(dǎo)數(shù)幾何意義得，由分段點(diǎn)可確定，而需分類討論：若，則；若，則，分別代入，探求實(shí)數(shù)的解的情況：，，先求出的取值范圍，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值

試題解析：函數(shù)求導(dǎo)得

（1）當(dāng)，時(shí)，

①若，則恒成立，所以在上單調(diào)遞減；

②若，則，令，解得或（舍去），

若，則，在上單調(diào)遞減；

若，則，在上單調(diào)遞增；

綜上，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是．

（2）當(dāng)，時(shí)，，而，

所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

所以函數(shù)在上的最小值為，

所以恒成立，解得或（舍去），

又由，解得，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．

（3）由知，，而，則，

若，則，

所以，解得，不合題意，

故，則，

整理得，

由，得，令，則，，

所以，設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

所以函數(shù)的最小值為，

故實(shí)數(shù)的最小值為．