Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)曲線與軸正半軸的交點為,曲線在點處的切線方程為,

求證:對于任意的正實數(shù),都有；

（3）若方程為實數(shù)）有兩個正實數(shù)根且,求證: .

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是 ,單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點，由零點對定義域分段，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號得到原函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)出點的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，構(gòu)造輔助函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到對于任意實數(shù)，有，即對任意實數(shù)，都有；（3）由（2）知， ，求出方程的根， ，由在單調(diào)遞減，得到，同理得到，根據(jù)不等式性質(zhì)則可證得.

試題解析：（1）由,可得,當(dāng) ,即 時,函數(shù) 單調(diào)遞增;當(dāng) ,即 時,函數(shù) 單調(diào)遞減.所以函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ,單調(diào)遞減區(qū)間是.

（2）設(shè) ,則 , 曲線 在點P處的切線方程為 ,即,令 即 則.

由于在 單調(diào)遞減,故在 單調(diào)遞減,又因為,所以當(dāng)時, ,所以當(dāng)時, ,所以 在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以對任意的實數(shù)x, ,對于任意的正實數(shù),都有.

（3）由（2）知 ,設(shè)方程 的根為 ,可得,因為在 單調(diào)遞減,又由（II）知 ,所以 .類似的,設(shè)曲線 在原點處的切線為 可得 ,對任意的,有 即 .設(shè)方程 的根為 ,可得 ,因為 在 單調(diào)遞增,且 ,因此, 所以 .