【題目】已知數(shù)列{an}中,a1=3,an+1+an=32n , n∈N*
(1)證明數(shù)列{an﹣2n}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)在數(shù)列{an}中,是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列?若存在,求出所有符合條件的項(xiàng);若不存在,請說明理由;
(3)若1<r<s且r,s∈N* , 求證:使得a1 , ar , as成等差數(shù)列的點(diǎn)列(r,s)在某一直線上.

【答案】
(1)證明:將已知條件 變形為

由于a1﹣2=3﹣2=1≠0,則 (常數(shù))

即數(shù)列 是以1為首項(xiàng),公比為﹣1的等比數(shù)列

所以 =(﹣1)n1,即 +(﹣1)n1(n∈N*


(2)解:假設(shè)在數(shù)列{an}中存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列,不妨設(shè)連續(xù)的三項(xiàng)依次為ak1,ak,ak+1(k≥2,k∈N*),由題意得,2ak=ak1+ak+1,

, , 代入上式得

2[2k+(﹣1)k1]=[2k1+(﹣1)k2]+[2k+1+(﹣1)k]

化簡得,﹣2k1=4(﹣1)k2,即2k1=4(﹣1)k1,得(﹣2)k1=4,解得k=3,

所以,存在滿足條件的連續(xù)三項(xiàng)為a2,a3,a4成等差數(shù)列


(3)證明:若a1,ar,as成等差數(shù)列,則2ar=a1+as,

即2[2r+(﹣1)r1]=3+2s+(﹣1)s1,變形得2s﹣2r+1=2(﹣1)r1﹣(﹣1)s1﹣3

由于若r,s∈N*且1<r<s,下面對r、s進(jìn)行討論:

①若r,s均為偶數(shù),則2s﹣2r+1<0,解得s<r+1,與1<r<s矛盾,舍去;

②若r為奇數(shù),s為偶數(shù),則2s﹣2r+1=0,解得s=r+1;

③若r為偶數(shù),s為奇數(shù),則2s﹣2r+1<0,解得s<r+1,與1<r<s矛盾,舍去;

④若r,s均為奇數(shù),則2s﹣2r+1<0,解得s<r+1,與1<r<s矛盾,舍去;

綜上①②③④可知,只有當(dāng)r為奇數(shù),s為偶數(shù)時(shí),a1,ar,as成等差數(shù)列,

此時(shí)滿足條件點(diǎn)列(r,s)落在直線y=x+1(其中 為正奇數(shù))上


【解析】(1)將條件變形,構(gòu)造符合條件的數(shù)列,即可證明數(shù)列{an﹣2n}是等比數(shù)列,從而可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)假設(shè)在數(shù)列{an}中存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列,代入相應(yīng)的項(xiàng),化簡可得結(jié)論;(3)若a1 , ar , as成等差數(shù)列,則2ar=a1+as , 代入變形整理,對r、s進(jìn)行討論,可得結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式是解答本題的根本,需要知道如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

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求證:對于任意的正實(shí)數(shù),都有;

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