Question

【題目】如圖，矩形ABCD所在的平面與正方形ADPQ所在的平面相互垂直，E是QD的中點(diǎn)． （Ⅰ）求證：QB∥平面AEC；
（Ⅱ）求證：平面QDC⊥平面AEC；
（Ⅲ）若AB=1，AD=2，求多面體ABCEQ的體積．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：連接BD交AC于O，連接EO． 因?yàn)?E，O分別為QD和BD的中點(diǎn)，則EO∥QB．
又 EO平面AEC，QB平面AEC，
所以 QB∥平面AEC．
（Ⅱ）證明：因?yàn)榫匦蜛BCD所在的平面與正方形ADPQ所在的平面相互垂直，CD平面ABCD，CD⊥AD，
所以CD⊥平面ADPQ．
又AE平面ADPQ，所以CD⊥AE．
因?yàn)锳D=AQ，E是QD的中點(diǎn)，所以AE⊥QD．
所以AE⊥平面QDC．
所以平面QDC⊥平面AEC．
（Ⅲ）解：多面體ABCEQ為四棱錐Q﹣ABCD截去三棱錐E﹣ACD所得，
所以 ．

【解析】（Ⅰ）連接BD交AC于O，連接EO．證明EO∥QB，即可證明QB∥平面AEC．（Ⅱ）證明CD⊥AE，AE⊥QD．推出AE⊥平面QDC，然后證明平面QDC⊥平面AEC．（Ⅲ）通過多面體ABCEQ為四棱錐Q﹣ABCD截去三棱錐E﹣ACD所得，計(jì)算求解即可．
【考點(diǎn)精析】利用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．