Question

【題目】已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且S2=6，S4=30，n∈N* ， 數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bnbn+1=an ， b1=1
（1）求an ， bn；
（2）求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n ．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q（q＞0），

由題意可得a1+a1q=6，a1+a1q+a1q2+a1q3=30，

解得a1=q=2（負(fù)的舍去），

可得an=a1qn﹣1=2n；

由bnbn+1=an=2n，b1=1，

可得b2=2，

即有bn+1bn+2=an=2n+1，

可得 =2，

可得數(shù)列{bn}中奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)均為公比為2的等比數(shù)列，

即有bn= ；

（2）解：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，前n項(xiàng)和為T(mén)n=（1+2+..+ ）+（2+4+..+ ）

= + =3（ ）n﹣3；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，前n項(xiàng)和為T(mén)n=Tn﹣1+

=3（ ）n﹣1﹣3+ =（ ）n+3﹣3．

綜上可得，Tn=

【解析】（1）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q（q＞0），由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公比均為2，可得an=a1qn﹣1=2n；再由n換為n+1，可得數(shù)列{bn}中奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)均為公比為2的等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到所求bn；（2）討論n為奇數(shù)和偶數(shù)，運(yùn)用分組求和和等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理即可得到所求和．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系，以及對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．