Question

【題目】對于函數(shù)，若存在,使得成立，則稱為的不動點(diǎn)，已知函數(shù)

（1）當(dāng)，時，求函數(shù)的不動點(diǎn)；

（2）若對任意實(shí)數(shù)，函數(shù)恒有不動點(diǎn)，求的取值范圍；

（3）在（2）條件下，若圖象上的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)的不動點(diǎn)，且的中點(diǎn)在直線上，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）-1或3；（2）；（3）.

【解析】

（1）由已知可得的不動點(diǎn)，為方程的解，將代入，解方程，即可得出結(jié)論；

（2）由條件可得，將問題轉(zhuǎn)化對于任意的實(shí)數(shù)，方程有實(shí)數(shù)解，利用一元二次方程有實(shí)數(shù)解，進(jìn)而得到關(guān)于一元二次不等式恒成立，可求出的取值范圍；

（3）的中點(diǎn)在直線上，利用韋達(dá)定理結(jié)合不動點(diǎn)定義，將中點(diǎn)坐標(biāo)用表示，代入直線方程，表示成的函數(shù)，由的范圍，利用函數(shù)思想求出的最小值.

（1）當(dāng)，時，，

由或

當(dāng)，時，求函數(shù)的不動點(diǎn)為-1或3；

（2）若對任意實(shí)數(shù)，函數(shù)恒有不動點(diǎn)，

即方程時恒有實(shí)數(shù)解，

，上恒成立，

，解得，

所以的取值范圍；

（3）設(shè)的不動點(diǎn)為，則，

且，所以，

的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即為，

代入得，

，

當(dāng)時，取得最小值為.