【題目】直角三角形中,的中點,是線段上一個動點,且,如圖所示,沿翻折至,使得平面平面

(1)當時,證明:平面;

(2)是否存在,使得與平面所成的角的正弦值是?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)證明見解析;(2)答案見解析.

【解析】試題分析:

(1)由題意可得,取的中點,連接,當時,由幾何關系可證得平面.則.利用線面垂直的判斷定理可得平面.

(2)建立空間直角坐標系,結合直線的方向向量與平面的法向量計算可得存在,使得與平面所成的角的正弦值為.

試題解析:

(1)在中,,即,

,

的中點,連接,

時,的中點,而的中點,

的中位線,∴.

中,的中點,

的中點.

中,

,則.

又平面平面,平面平面,

平面.

平面,∴.

,∴平面.

(2)以為原點,所在直線為軸,所在直線為軸,建立如圖所示空間直角坐標系.

,,,

由(1)知中點,,而平面平面.

平面,

.

假設存在滿足題意的,則由.

可得,

.

設平面的一個法向量為

,可得,,即.

與平面所成的角的正弦值

.

解得舍去).

綜上,存在,使得與平面所成的角的正弦值為.

練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,直角梯形中, ,等腰梯形中, ,且平面平面

(1)求證: 平面;

(2)若與平面所成角為,求二面角的余弦值.

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【題目】已知函數(shù) .

(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)討論函數(shù)零點的個數(shù).

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【題目】某調(diào)查機構隨機調(diào)查了歲到歲之間的位網(wǎng)上購物者的年齡分布情況,并將所得數(shù)據(jù)按照,,,,分成組,繪制成頻率分布直方圖(如圖).

(1)求頻率分布直方圖中實數(shù)的值及這位網(wǎng)上購物者中年齡在內(nèi)的人數(shù);

(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從參與調(diào)查的位網(wǎng)上購物者中隨機抽取人,再從這人中任選人,設這人中年齡在內(nèi)的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望.

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【題目】平面直角坐標系中,已知橢圓)的左焦點為,離心率為,過點且垂直于長軸的弦長為

(1)求橢圓的標準方程;

(2)設點分別是橢圓的左、右頂點,若過點的直線與橢圓相交于不同兩點、

①求證:;

②求面積的最大值.

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【題目】響應“文化強國建設”號召,某市把社區(qū)圖書閱覽室建設增列為重要的民生工程.為了解市民閱讀需求,隨機抽取市民200人做調(diào)查,統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明,樣本中所有人每天用于閱讀的時間(簡稱閱讀用時)都不超過3小時,其頻數(shù)分布表如下:(用時單位:小時)

用時分組

頻數(shù)

10

20

50

60

40

20

(1)用樣本估計總體,求該市市民每天閱讀用時的平均值;

(2)為引導市民積極參與閱讀,有關部門牽頭舉辦市讀書經(jīng)驗交流會,從這200人中篩選出男女代表各3名,其中有2名男代表和1名女代表喜歡古典文學.現(xiàn)從這6名代表中任選2名男代表和2名女代表參加交流會,求參加交流會的4名代表中,喜歡古典文學的男代表多于喜歡古典文學的女代表的概率.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】近年來隨著素質(zhì)教育的不斷推進,高考改革趨勢明顯.國家教育部先后出臺了有關高考的《學業(yè)水平考試》、《綜合素質(zhì)評價》、《加分項目瘦身與自主招生》三個重磅文件,引起社會極大關注,有人說:男孩苦,女孩樂!為了了解某地區(qū)學生和包括老師,家長在內(nèi)的社會人士對高考改革的看法,某媒體在該地區(qū)選擇了人,,就是否“贊同改革”進行調(diào)查,調(diào)查統(tǒng)計的結果如下表:

贊同

不贊同

無所謂

在校學生

社會人士

已知在全體樣本中隨機抽取人,抽到持“不贊同”態(tài)度的人的概率為.

(1)現(xiàn)用分層抽樣的方法在所有參與調(diào)查的人中抽取人進行問卷訪談,文應該在持“無所謂”態(tài)度的人中抽取多少人?

(2)在持“不贊同”態(tài)度的人中,用分層抽樣方法抽取人,若從人中任抽人進一步深入調(diào)查,為更多了解學生的意愿,要求在校學生人數(shù)不少于社會人士人士,求恰好抽到兩名在校學生的概率.

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【題目】四棱臺被過點的平面截去一部分后得到如圖所示的幾何體,其下底面四邊形是邊長為2的菱形,,平面,.

(Ⅰ)求證:平面平面

(Ⅱ)若與底面所成角的正切值為2,求二面角的余弦值.

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【題目】2018湖南(長郡中學、株洲市第二中學)、江西(九江一中)等十四校高三第一次聯(lián)考已知函數(shù)(其中為常數(shù), 為自然對數(shù)的底數(shù), ).

)若函數(shù)的極值點只有一個,求實數(shù)的取值范圍;

)當時,若(其中)恒成立,求的最小值的最大值.

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