已知函數(shù).
（1）是否存在點，使得函數(shù)的圖像上任意一點P關于點M對稱的點Q也在函數(shù)的圖像上？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；
（2）定義，其中，求；
（3）在（2）的條件下，令，若不等式對且恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

（1）存在，且點的坐標為；（2）；（3）的取值范圍是.

解析試題分析：（1）先假設點的坐標，根據(jù)圖象對稱的定義列式求出點的坐標即可；（2）利用（1）中條件的條件，并注意到定義中第項與倒數(shù)第項的和這一條件，并利用倒序相加法即可求出的表達式，進而可以求出的值；（3）先利用和之間的關系求出數(shù)列的通項公式，然后在不等式中將與含的代數(shù)式進行分離，轉化為恒成立的問題進行處理，最終利用導數(shù)或作差（商）法，通過利用數(shù)列的單調性求出的最小值，最終求出實數(shù)的取值范圍.
試題解析：（1）假設存在點，使得函數(shù)的圖像上任意一點P關于點M對稱的點Q也在函數(shù)的圖像上，則函數(shù)圖像的對稱中心為.
由，得，
即對恒成立，所以解得
所以存在點，使得函數(shù)的圖像上任意一點關于點M對稱的點也在函數(shù)的圖像上.
（2）由（1）得.
令，則.
因為①，
所以②，
由①+②得，所以.
所以.
（3）由（2）得，所以.
因為當且時，.
所以當且時，不等式恒成立.
設，則.
當時，，在上單調遞減；
當時，，在上單調遞增.
因為，所以，
所以當且時，.
由，得，解得.
所以實數(shù)的取值范圍是.
考點：函數(shù)的對稱性、倒序相加法、導數(shù)

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)
（Ⅰ）若對任意，使得恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）證明：對，不等式成立.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)().
(1)當時,求函數(shù)的單調區(qū)間;
(2)當時,取得極值.
① 若,求函數(shù)在上的最小值;
② 求證:對任意,都有.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設函數(shù)的定義域為（0，）.
(Ⅰ)求函數(shù)在上的最小值；
(Ⅱ)設函數(shù)，如果，且，證明：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)在區(qū)間上存在極值點，求實數(shù)的取值范圍；
(2)當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
(3)求證：．（，為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設m為實數(shù)，函數(shù)f（x）＝－＋2x＋m，x∈R
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間與極值；
（Ⅱ）求證：當m≤1且x＞0時，＞2＋2mx＋1.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設．
(Ⅰ)若，討論的單調性；
（Ⅱ）時，有極值，證明：當時，

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù) ．
(Ⅰ)若在處的切線垂直于直線，求該點的切線方程，并求此時函數(shù)的單調區(qū)間；
(Ⅱ)若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

規(guī)定其中，為正整數(shù)，且=1，這是排列數(shù)(是正整數(shù)，)的一種推廣．
(Ⅰ) 求的值；
(Ⅱ）排列數(shù)的兩個性質：①，②(其中m，n是正整數(shù))．是否都能推廣到(，是正整數(shù))的情形？若能推廣，寫出推廣的形式并給予證明；若不能，則說明理由；
(Ⅲ）已知函數(shù)，試討論函數(shù)的零點個數(shù)．

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