【題目】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,并滿足以下條件:①對任意,有;②對任意,有;③.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求證:在上是單調(diào)增函數(shù);
(Ⅲ)若,且,求證:.
【答案】(1);(2)見解析;(3)見解析.
【解析】
(1)利用賦值法即可求出的值;
(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),即可證明;
或者構(gòu)造函數(shù)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可證明;
(3)構(gòu)造基本不等式的模型,利用不等式性質(zhì)即可證明.
解法一:
(Ⅰ)令得:
因?yàn)?/span>,所以;
(Ⅱ)任取且設(shè)則
因?yàn)?/span>,所以,
所以在上是單調(diào)增函數(shù);
(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)知,因?yàn)?/span>
又,
所以
所以
解法二:
(Ⅰ)因?yàn)閷θ我?/span>,有,且對任意,
所以,當(dāng)時(shí)
故.
(Ⅱ)因?yàn)?/span>,所以
所以在上是單調(diào)增函數(shù),即在上是單調(diào)增函數(shù)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,,
而,所以
所以
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓規(guī)是用來畫橢圓的一種器械,它的構(gòu)造如圖所示,在一個(gè)十字形的金屬板上有兩條互相垂直的導(dǎo)槽,在直尺上有兩個(gè)固定的滑塊A,B,它們可分別在縱槽和橫槽中滑動(dòng),在直尺上的點(diǎn)M處用套管裝上鉛筆,使直尺轉(zhuǎn)動(dòng)一周,則點(diǎn)M的軌跡C是一個(gè)橢圓,其中|MA|=2,|MB|=1,如圖,以兩條導(dǎo)槽的交點(diǎn)為原點(diǎn)O,橫槽所在直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系.
(1)將以射線Bx為始邊,射線BM為終邊的角xBM記為φ(0≤φ<2π),用表示點(diǎn)M的坐標(biāo),并求出C的普通方程;
(2)已知過C的左焦點(diǎn)F,且傾斜角為α(0≤α)的直線l1與C交于D,E兩點(diǎn),過點(diǎn)F且垂直于l1的直線l2與C交于G,H兩點(diǎn).當(dāng),|GH|,依次成等差數(shù)列時(shí),求直線l2的普通方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】全國文明城市是中國所有城市品牌中含金量最高、創(chuàng)建難度最大的一個(gè),是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號(hào),是目前國內(nèi)城市綜合類評比中的最高榮譽(yù),也是最具價(jià)值的城市品牌,作為普通市民,既是城市文明的最大受益者,更是文明城市的主要?jiǎng)?chuàng)造者,皖北某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí),舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競賽,從所有答卷中隨機(jī)抽取400份試卷作為樣本,將樣本的成績(滿分100分,成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段:后得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求樣本的平均數(shù);
(Ⅱ)現(xiàn)從該樣本成績在與兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的市民中按分層抽樣選取6人,求從這6人中隨機(jī)選取2人,且2人的競賽成績之差的絕對值大于20的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為了對某種商品進(jìn)行合理定價(jià),需了解該商品的月銷售量(單位:萬件)與月銷售單價(jià)(單位:元/件)之間的關(guān)系,對近個(gè)月的月銷售量和月銷售單價(jià)數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析,得到一組檢測數(shù)據(jù)如表所示:
月銷售單價(jià)(元/件) | ||||||
月銷售量(萬件) |
(1)若用線性回歸模型擬合與之間的關(guān)系,現(xiàn)有甲、乙、丙三位實(shí)習(xí)員工求得回歸直線方程分別為:,和,其中有且僅有一位實(shí)習(xí)員工的計(jì)算結(jié)果是正確的.請結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)的相關(guān)知識(shí),判斷哪位實(shí)習(xí)員工的計(jì)算結(jié)果是正確的,并說明理由;
(2)若用模型擬合與之間的關(guān)系,可得回歸方程為,經(jīng)計(jì)算該模型和(1)中正確的線性回歸模型的相關(guān)指數(shù)分別為和,請用說明哪個(gè)回歸模型的擬合效果更好;
(3)已知該商品的月銷售額為(單位:萬元),利用(2)中的結(jié)果回答問題:當(dāng)月銷售單價(jià)為何值時(shí),商品的月銷售額預(yù)報(bào)值最大?(精確到)
參考數(shù)據(jù):.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓左、右焦點(diǎn)分別為,,離心率為,兩準(zhǔn)線間距離為8,圓O的直徑為,直線l與圓O相切于第四象限點(diǎn)T,與y軸交于M點(diǎn),與橢圓C交于點(diǎn)N(N點(diǎn)在T點(diǎn)上方),且.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求直線l的方程;
(3)求直線l上滿足到,距離之和為的所有點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】斐波拉契數(shù)列,指的是這樣一個(gè)數(shù)列:1,1,2,3,5,8,13,21,…,在數(shù)學(xué)上,斐波拉契數(shù)列{an}定義如下:a1=a2=1,an=an﹣1+an﹣2(n≥3,n∈N),隨著n的增大,越來越逼近黃金分割0.618,故此數(shù)列也稱黃金分割數(shù)列,而以an+1、an為長和寬的長方形稱為“最美長方形”,已知某“最美長方形”的面積約為200平方厘米,則該長方形的長大約是( )
A.20厘米B.19厘米C.18厘米D.17厘米
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣1)2﹣alnx(a<0).
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2(x1<x2),且關(guān)于x的方程f(x)=b(b∈R)恰有三個(gè)實(shí)數(shù)根x3,x4,x5(x3<x4<x5),求證:2(x2﹣x1)>x5﹣x3.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:()的焦點(diǎn)為F,過F且斜率為1的直線與C交于A,B兩點(diǎn),.
(1)求C的方程;
(2)過點(diǎn)的直線l交C于點(diǎn)M,N,點(diǎn)Q為的中點(diǎn),軸交C于點(diǎn)R,且,證明:動(dòng)點(diǎn)T在定直線上.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為調(diào)查中學(xué)生平均每人每天參加體育鍛煉的時(shí)間(單位:),按鍛煉時(shí)間分下列四種情況統(tǒng)計(jì):(1);(2);(3);(4)以上,有10000名中學(xué)生參加了此項(xiàng)活動(dòng),下圖是此次調(diào)查中某一項(xiàng)的流程圖,若平均每天參加體育鍛煉的時(shí)間在的學(xué)生頻率是0.15,則輸出的結(jié)果為________.
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