Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，橢圓左、右焦點分別為，，離心率為，兩準線間距離為8，圓O的直徑為，直線l與圓O相切于第四象限點T，與y軸交于M點，與橢圓C交于點N（N點在T點上方），且．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）求直線l的方程；

（3）求直線l上滿足到，距離之和為的所有點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（2）．（3）和．

【解析】

(1) 根據(jù)橢圓的性質(zhì)、離心率和兩準線間的距離，列出以下方程：①，②，③，然后求解即可.

(2) 法一：設(shè)切點，則⑤, 利用和為核心參數(shù)，依次表示直線OT的斜率，直線的方程，以及N點的坐標，然后列方程求解即可求出和，進而即可求解.

法二：設(shè)，，然后，以，，為核心參數(shù)，列出直線的方程，又因與相切，則列出圓心距的方程，最后根據(jù)(1)中的方程，聯(lián)合求解即可.

(3) 因為到，距離之和為的所有點的集合為橢圓C，

所以滿足題意的點為直線l與橢圓C的公共點，

聯(lián)立④和⑨得：，然后求解即可.

解：（1）設(shè)橢圓C的焦距為，因為離心率為①，

兩準線間距離為②，又③，

由①②③解得，．則橢圓C的標準方程為④

（2）法一：設(shè)切點，則⑤，因T在第四象限，所以，，

直線OT的斜率，因為，所以直線的斜率，

直線，由⑤得：⑥，

令，得，

因為，，所以，T為MN中點，所以，

代入（1）中④得：，解得：，，

代入⑥式得：直線l的方程為．

法二：設(shè)，，則⑤，設(shè)直線⑦，

因為切點T在第四象限，所以，，．

因l與相切，則圓心距，⑧，

因為，則，所以⑨，

聯(lián)立⑤⑨解得：，，

因為，所以，，

則，由⑧得，解得，．

當時，，與矛盾．則，代入⑧，得，

所以直線l方程為⑨．

（3）因為到，距離之和為的所有點的集合為橢圓C，

所以滿足題意的點為直線l與橢圓C的公共點，

聯(lián)立④⑨得：，得，即或，

所以滿足條件的點的坐標為和．