Question

設(shè)定義在R上的奇函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d，a，b，c，d∈R．當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取得極大值

2

3

．
（1）求函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式；
（2）判斷函數(shù)y=f（x）的圖象上是否存在兩點(diǎn)，使得以這兩點(diǎn)為切點(diǎn)的切線互相垂直，且切
點(diǎn)的橫坐標(biāo)在區(qū)間[-

2

，

2

]上，并說(shuō)明理由；
（3）設(shè)x_n=1-2^-n，y_m=

2

（3^-m-1）（m，n∈N*），求證：|f（x_n）-f（y_m）|＜

4

3

．

Answer 1

分析：本題考查的是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值問(wèn)題．在解答時(shí)，
對(duì)（1）充分利用所給性質(zhì)：奇偶性、極值，即可找方程解參數(shù)；
對(duì)（2）是存在性問(wèn)題，先假設(shè)存在兩點(diǎn)滿足題意，由切線垂直即可獲得：f′（x₁）•f′（x₂）=-1．即可問(wèn)題的解答；
對(duì)（3）應(yīng)先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解問(wèn)題，要充分利用好x_n、y_m的范圍．

解答：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d是奇函數(shù)，
所以f（-x）=-f（x）對(duì)x∈R恒成立，則b=d=0．
所以f（x）=ax³+cx．
因?yàn)楫?dāng)x=-1時(shí)，f（x）取得極大值

2

3

，f′（x）=3ax²+c，
所以

3a+c=0 -a-c= 2 3

解得

a= 1 3 c=-1

所以f（x）=

1

3

x³-x．

（2）存在滿足題意的兩點(diǎn)．
由（1），得f′（x）=x²-1．假設(shè)存在兩切點(diǎn)（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），x₁，x₂∈[-

2

，

2

]．
則f′（x₁）•f′（x₂）=-1．所以（x₁²-1）（x₂²-1）=-1．
因?yàn)椋▁₁²-1），（x₂²-1）∈[-1，1]，所以

x12-1=-1 x22-1=1

或

x12 -1=1 x22-1=-1

解得

x1=0 x2=± 2

或

x1=± 2 x2=0

所以兩切點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，0），（

2

，-

2

3

）或（0，0），（-

2

，

2

3

）．

（3）因?yàn)楫?dāng)x∈[

1

2

，1）時(shí)，f′（x）＜0，所以f（x）在[

1

2

，1）上遞減．
由已知，得x_n∈[

1

2

，1），所以f（x_n）∈（f（1），f（

1

2

）]，即f（x_n）∈（-

2

3

，-

11

24

]．
又x＜-1時(shí)，f′（x）＞0；-1＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，
所以f（x）在（-∞，-1）上遞增，f（x）在（-1，1）上遞減．
因?yàn)閥_m=

2

（3^-m-1），所以y_m∈（-

2

，-

2 2

3

]．
因?yàn)?

2

＜-1＜-

2 2

3

，且f（-

2

）=

2

-

2 2

3

=

2

3

＜f（-

2 2

3

）=

38 2

81

，
所以f（y_m）∈（f（-

2

），f（-1）]，即f（y_m）∈（

2

3

，

2

3

]．
所以|f（x_n）-f（y_m）|=f（y_m）-f（x_n）＜

2

3

-（-

2

3

）=

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了方程的思想、恒成立的思想和問(wèn)題轉(zhuǎn)化的思想．同時(shí)存在性問(wèn)題的解答思路也在題目中獲得了很好的展現(xiàn)．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．