【題目】設為坐標原點,定義非零向量
,
的“相伴函數”為
,
向量,
稱為函數
的“相伴向量”.記平面內所有向量的“相伴函數”構成的集合為
.
(1)設函數,求證:
;
(2)記,
的“相伴函數”為
,若函數
,
,
與直線
有且僅有四個不同的交點,求實數
的取值范圍;
(3)已知點,
滿足
,向量
的“相伴函數”
在
處取得最大值.當點
運動時,求
的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)(3)
【解析】
(1)依題意,將可化為h(x)
于是結論可證;
(2)去絕對值得函數的單調性及最值,利用交點個數求得k的范圍
(3)由f(x)sin(x+φ)可求得x0=2kπ
φ,k∈Z時f(x)取得最大值,其中tanx0
,換元求得
的范圍,再利用二倍角的正切可求得tan2x0的范圍.
(1)∵
∴函數h(x)的相伴向量(
,
),
∴h(x)∈S
(2)∵則
,
,
則在
單調遞增,
單調遞減,
單調遞增,
單調遞減,又
;函數
,
,
與直線
有且僅有四個不同的交點,實數
的取值范圍為
(3)的相伴函數f(x)=asinx+bcosx
sin(x+φ),
其中cosφ,sinφ
當x+φ=2kπ,k∈Z即x0=2kπ
φ,k∈Z時f(x)取得最大值,
∴tanx0=tan(2kπφ)=cotφ
,
∴tan2x0.
令m,則
解得
(m=1不成立)
則tan2x0,(
)
∵單調遞增,故m
∈
∴tan
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【題目】設全集U=R,集合A={x|1≤x<4},B={x|2a≤x<3-a}.
(1)若a=-2,求B∩A,B∩(UA);(2)若A∪B=A,求實數a的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙三臺機床各自獨立地加工同一種零件,已知甲機床加工的零件是一等品而乙機床加工的零件不是一等品的概率是,乙機床加工的零件是一等品而丙機床加工的零件不是一等品的概率是
,甲、乙兩臺機床加工的零件都是一等品的概率是
.
(1)分別求甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的概率;
(2)從甲、乙、丙三臺機床加工的零件中各取一個檢驗,求至少有一個一等品的概率;
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( )
A.因為,所以
是函數
的一個周期;
B.因為,所以
是函數
的最小正周期;
C.因為時,等式
成立,所以
是函數
的一個周期;
D.因為,所以
不是函數
的一個周期.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,某園林單位準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地,△ABC外的地方種草,△ABC的內接正方形PQRS為一水池,其余的地方種花.若BC=a,∠ABC=,設△ABC的面積為S1,正方形的面積為S2.
(1)用a,表示S1和S2;
(2)當a固定,變化時,求
取最小值時的角
.
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【題目】新能源汽車的春天來了!2018年3月5日上午,李克強總理做政府工作報告時表示,將新能源汽車車輛購置稅優(yōu)惠政策再延長三年,自2018年1月1日至2020年12月31日,對購置的新能源汽車免征車輛購置稅.某人計劃于2018年5月購買一輛某品牌新能源汽車,他從當地該品牌銷售網站了解到近五個月實際銷量如下表:
月份 | 2017.12 | 2018.01 | 2018.02 | 2018.03 | 2018.04 |
月份編號t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷量(萬輛) | 0.5 | 0.6 | 1 | 1.4 | 1.7 |
(1)經分析,可用線性回歸模型擬合當地該品牌新能源汽車實際銷量(萬輛)與月份編號
之間的相關關系.請用最小二乘法求
關于
的線性回歸方程
,并預測2018年5月份當地該品牌新能源汽車的銷量;
(2)2018年6月12日,中央財政和地方財政將根據新能源汽車的最大續(xù)航里程(新能源汽車的最大續(xù)航里程是指理論上新能源汽車所裝的燃料或電池所能夠提供給車跑的最遠里程)對購車補貼進行新一輪調整.已知某地擬購買新能源汽車的消費群體十分龐大,某調研機構對其中的200名消費者的購車補貼金額的心理預期值進行了一個抽樣調查,得到如下一份頻數表:
補貼金額預期值區(qū)間(萬元) | ||||||
20 | 60 | 60 | 30 | 20 | 10 |
將頻率視為概率,現(xiàn)用隨機抽樣方法從該地區(qū)擬購買新能源汽車的所有消費者中隨機抽取3人,記被抽取3人中對補貼金額的心理預期值不低于3萬元的人數為,求
的分布列及數學期望
.
參考公式及數據:①回歸方程,其中
,
,②
,.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在上海高考改革方案中,要求每位高中生必須在物理、化學、生物、政治、歷史、地理6門學科(3門理科,3門文科)中選擇3門學科參加等級考試,小李同學受理想中的大學專業(yè)所限,決定至少選擇一門理科學科,那么小李同學的選科方案有________種.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,直線與拋物線
交于
兩點,直線
與
軸交于點
,且直線
恰好平分
.
(1)求的值;
(2)設是直線
上一點,直線
交拋物線于另一點
,直線
交直線
于點
,求
的值.
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