Question

【題目】設為坐標原點，定義非零向量，的“相伴函數”為，

向量，稱為函數的“相伴向量”．記平面內所有向量的“相伴函數”構成的集合為．

(1)設函數，求證：；

(2)記，的“相伴函數”為，若函數，，與直線有且僅有四個不同的交點，求實數的取值范圍；

(3)已知點，滿足，向量的“相伴函數”在處取得最大值．當點運動時，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（3）

【解析】

（1）依題意，將可化為h（x）于是結論可證；

（2）去絕對值得函數的單調性及最值，利用交點個數求得k的范圍

（3）由f（x）sin（x+φ）可求得x0＝2kπφ，k∈Z時f（x）取得最大值，其中tanx0，換元求得的范圍，再利用二倍角的正切可求得tan2x0的范圍．

（1）∵

∴函數h（x）的相伴向量（，），

∴h（x）∈S

（2）∵則 ，，

則在單調遞增，單調遞減，單調遞增，單調遞減，又 ；函數，，與直線有且僅有四個不同的交點，實數的取值范圍為

（3）的相伴函數f（x）＝asinx+bcosxsin（x+φ），

其中cosφ，sinφ

當x+φ＝2kπ，k∈Z即x0＝2kπφ，k∈Z時f（x）取得最大值，

∴tanx0＝tan（2kπφ）＝cotφ，

∴tan2x0．

令m，則 解得 （m=1不成立）

則tan2x0，（）

∵單調遞增，故m∈

∴tan