【題目】一個人上臺階可以一次上1級臺階，也可以一次上3級臺階，或者一次上4級臺階.若這個人上級臺階總共有種走法，證明為平方數(shù).

【答案】見解析

【解析】

若最后一步上1級臺階，前面有種走法；

若最后一步上3級臺階，前面有種走法；

若最后一步上4級臺階，前面有種走法.

于是，.

又，，，，故有足夠多的初始條件使得能被唯一確定.

以下用數(shù)學歸納法證明兩個結論.

（1）.①

當時，，式①顯然成立.

設小于時，對所有的奇數(shù)項均有式①成立.

則時，有（由遞推式）

（由歸納假設）.故時式①也成立.

綜上，時式①成立.

（2）.②

當時，，式②顯然成立.

設時，有成立.

當時，

.

因此，.

若為平方數(shù)，由于為整數(shù)，則必有為平方數(shù).

又為平方數(shù)，由數(shù)學歸納法，易得為平方數(shù).

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了了解甲、乙兩個工廠生產的輪胎的寬度是否達標，分別從兩廠隨機各選取了個輪胎，將每個輪胎的寬度（單位： ）記錄下來并繪制出如下的折線圖：

（1）分別計算甲、乙兩廠提供的個輪胎寬度的平均值；

（2）輪胎的寬度在內，則稱這個輪胎是標準輪胎.

（i）若從甲乙提供的個輪胎中隨機選取個，求所選的輪胎是標準輪胎的概率；

（ii）試比較甲、乙兩廠分別提供的個輪胎中所有標準輪胎寬度的方差大小，根據(jù)兩廠的標準輪胎寬度的平均水平及其波動情況，判斷這兩個工廠哪個廠的輪胎相對更好？

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【題目】在的個元素的子集中，稱元素之和為偶數(shù)的子集為偶集合，元素之和為奇數(shù)的子集為奇集合.試求偶集合數(shù)目與奇集合數(shù)目之差.

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【題目】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點是的中點，，交于點．

（1）求證：平面平面；

（2）求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在一次飛機航程中，調查男女暈機情況，在80名男乘客中有10人暈機，70人不暈機.在30名女乘客中有10人暈機，20人不暈機

（1）請根據(jù)題設數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表

暈機

不暈機

總計

男

女

總計

（2）是否有把握認為“是否暈機與性別有關”.

附：

0.050

0.025

0.010

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，某園林單位準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，外的地方種草，的內接正方形PQRS為一水池，其余的地方種花.若，，設的面積為，正方形PQRS的面積為.

（1）用a，表示和；

（2）當a為定值，變化時，求的最小值，及此時的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）討論函數(shù)的單調區(qū)間.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知的展開式中第5項與第7項的二項數(shù)系數(shù)相等，且展開式的各項系數(shù)之和為1024，則下列說法正確的是（ ）

A.展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為256

B.展開式中第6項的系數(shù)最大

C.展開式中存在常數(shù)項

D.展開式中含項的系數(shù)為45

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某醫(yī)院用光電比色計檢查尿汞時，得尿汞含量(毫克/升)與消光系數(shù)如下表：

尿汞含量

2

4

6

8

10

消光系數(shù)

64

138

205

285

360

（1）作散點圖；

（2）如果與之間具有線性相關關系，求回歸線直線方程；

（3）估計尿汞含量為9毫克/升時消光系數(shù)．

，．

參考數(shù)據(jù)：，．

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