Question

【題目】已知圓，圓心為，定點，P為圓上一點，線段上一點N滿足，直線上一點Q，滿足.

(Ⅰ) 求點Q的軌跡C的方程；

(Ⅱ) O為坐標原點， 是以為直徑的圓，直線與相切，并與軌跡C交于不同的兩點A，B. 當且滿足時，求△OAB面積S的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）直接根據已知條件結合橢圓的定義求出曲線的方程．

（Ⅱ）利用直線和曲線的位置關系建立方程組，進一步利用一元二次方程根和系數的關系建立關系式，進一步求出參數的取值范圍．

試題解析：

（Ⅰ）∵

∴ N為的中點

∵

∴ QN為線段的中垂線

∴

∵

∴由橢圓的定義可知Q的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，

設橢圓的標準方程為，

則，

∴.

∴點Q的軌跡C的方程為.

（Ⅱ）∵圓O與直線相切，

∴，即，

由，消去y整理得.

∵直線與橢圓交于兩個不同點，

∴，

將代入上式，可得，

設，

則，

∴，

∴，

∴，

∵，解得.

滿足.

又，

設，則.

∴ ，

∴

故△OAB面積S的取值范圍為.