Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）若，求直線以及曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線與曲線交于兩點(diǎn)，且，求直線的斜率.

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

（1）根據(jù)的大小消去參數(shù)，求得直線的直角坐標(biāo)方程，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式，求得曲線的直角坐標(biāo)方程.（2）方法1：寫出直線的極坐標(biāo)方程，代入曲線的極坐標(biāo)方程，根據(jù)極坐標(biāo)系下的弦長(zhǎng)公式列方程由此求得直線的斜率.方法2：設(shè)出直線的直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立直線的方程和曲線的直角坐標(biāo)方程，利用弦長(zhǎng)公式列方程，解方程求得直線斜率.

解：（1）由題意，直線，可得直線是過原點(diǎn)的直線，

故其直角坐標(biāo)方程為，

又，由

故；

（2）由題意，直線l的極坐標(biāo)為，

設(shè)、對(duì)應(yīng)的極徑分別為，

將代入曲線的極坐標(biāo)可得：

，

故，，

，

故，則，即，，

所以故直線的斜率是

法二：由題意，直線方程為，設(shè)、對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為

聯(lián)立直線與曲線的方程，消去得.

所以，故直線的斜率是.