【題目】已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),為的導(dǎo)函數(shù),且.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)若函數(shù)在處的切線經(jīng)過點(diǎn),求函數(shù)的極值;
(3)若關(guān)于的不等式對(duì)于任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1);(2)函數(shù)的極小值為,極大值為;(3).
【解析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由,可求出實(shí)數(shù)的值;
(2)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在處的切線方程,將點(diǎn)代入切線方程,可求出實(shí)數(shù)的值,然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點(diǎn),并列表分析函數(shù)的單調(diào)性,由此可得出函數(shù)的極小值和極大值;
(3)方法1:由,得,,然后分和兩種情況討論,在時(shí)可驗(yàn)證不等式成立,在時(shí),由參變量分離法得,并構(gòu)造函數(shù),并利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值,由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍;
方法2:解導(dǎo)數(shù)方程,得出,,然后分,,,和五種情況討論,分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,求出函數(shù)的最大值,再解不等式可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
(1)因?yàn)?/span>,所以,
又因?yàn)?/span>,所以,解得.
(2)因?yàn)?/span>,所以.
因?yàn)?/span>,所以.
因?yàn)椋瘮?shù)在處的切線方程為且過點(diǎn),
即,解得.
因?yàn)?/span>,令,得,列表如下:
極大值 | 極小值 |
所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極小值,
當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極大值為;
(3)方法1:因?yàn)?/span>在上恒成立,
所以在上恒成立.
當(dāng)時(shí),成立;
當(dāng)時(shí),恒成立,記,,
則.
令,,
則,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,
所以,即在區(qū)間上恒成立.
當(dāng),令,得,
所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,
所以,所以,,
因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是;
方法2:由(1)知,,
所以.
令,得,.
①當(dāng)時(shí),即時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,
由題意可知,滿足條件;
②當(dāng)時(shí),即時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,
由題意可知,解得;
③當(dāng)時(shí),即時(shí),
函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
由題意可知,解得,所以;
④當(dāng)時(shí),即時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,
由題意可知,解得.
又因?yàn)?/span>,所以;
⑤當(dāng)時(shí),即時(shí),
函數(shù)在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
由題意可知,即.
令,則,設(shè),
則,所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,
又因?yàn)?/span>時(shí),,所以在區(qū)間上恒成立,所以.
綜上,,因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求在上的最小值;
(2)若直線是函數(shù)的切線方程,求實(shí)數(shù)的值;
(3)若,證明:對(duì)任意實(shí)數(shù),恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,四邊形是矩形,,,為正三角形,且平面平面,、分別為、的中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)求幾何體的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:
年 份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代號(hào)t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均純收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程;
(2)利用(1)中的回歸方程,分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:
=,=-.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有一個(gè)長(zhǎng)方形木塊,三個(gè)側(cè)面積分別為8,12,24,現(xiàn)將其削成一個(gè)正四面體模型,則該正四面體模型棱長(zhǎng)的最大值為( )
A.2B.C.4D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】政府為了穩(wěn)定房?jī)r(jià),決定建造批保障房供給社會(huì),計(jì)劃用萬(wàn)的價(jià)格購(gòu)得一塊建房用地,在該土地上建幢樓房供使用,每幢樓的樓層數(shù)相同且每層建套每套平方米,經(jīng)測(cè)算第層每平方米的建筑造價(jià)(元)與滿足關(guān)系式(其中為整數(shù)且被整除) ,根據(jù)某工程師的個(gè)人測(cè)算可知,該小區(qū)只有每幢建層時(shí)每平方米平均綜合費(fèi)用才達(dá)到最低,其中每平方米.
(1)求的值;
(2)為使該小區(qū)平均每平方米的平均綜合費(fèi)用控制在元以內(nèi),每幢至少建幾層?至多造幾層?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)若函數(shù)在上遞減,在上遞增,求實(shí)數(shù)的值.
(2)若函數(shù)在定義域上不單調(diào),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(3)若方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍,并證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四面體ABCD中,,,二面角的大小為,,.
(1)若,M是BC的中點(diǎn),N在線段DC上,,求證:平面AMN;
(2)當(dāng)BP與平面ACD所成角最大時(shí),求的值.
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