Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若函數(shù)在上遞減，在上遞增，求實(shí)數(shù)的值.

（2）若函數(shù)在定義域上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

（3）若方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明.

Answer 1

【答案】（1）1（2）或. （3），見解析

【解析】

（1）由題意可得是函數(shù)的極大值點(diǎn)，由即可得解.

（2）根據(jù)恒成立思想先求出在定義域上單調(diào)時(shí)的的取值范圍，取補(bǔ)集即可得解；

（3）分離常數(shù)可得，轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，通過求導(dǎo)即得函數(shù)的圖像與性質(zhì)，結(jié)合圖像即可得解.

（1）由于函數(shù)函數(shù)在上遞增，在上遞減，由單調(diào)性知，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn).所以

經(jīng)驗(yàn)證成立.

（2）假設(shè)函數(shù)在定義域上單調(diào)，則有或在上恒成立

故只有使在上恒成立

即在上恒成立

令由圖形（數(shù)形結(jié)合）可得：

故：函數(shù)在定義域上不單調(diào)時(shí)或.

（3）令，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

故在處取得最小值為

又當(dāng)，由圖象知：

不妨設(shè)，則有，

令

在上單調(diào)遞增，故

即，