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【題目】在四棱錐中中，是邊長為的等邊三角形，底面為直角梯形，，，，．

（1）證明：；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）取的中點為，連接，由是等邊三角形可得，再由底面為直角梯形，結合已知的邊長可證得，于是得平面，從而證得結果；

（2）由條件可得可知兩兩垂直，所以以為坐標原點建立直角坐標系，利用向量法求出二面角的余弦值.

（1）證明：取的中點為，連接，因為是等邊三角形，所以．

因為在直角梯形中，，，，所以

所以為等腰三角形，所以

因為，所以平面

因為平面，所以．

（2）解：因為，，為正三角形的邊上的高，所以．

因為，所以，由（1）可知兩兩垂直．

以為坐標原點建立直角坐標系，則，，，

則，，

設平面的法向量為

則,即令得．

設平面的法向量為

則,即令，則

因為二面角為銳二面角，所以其余弦值為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在脫貧攻堅中，某市教育局定點幫扶前進村戶貧困戶.駐村工作隊對這戶村民的貧困程度以及家庭平均受教育程度進行了調査，并將該村貧困戶按貧困程度分為“絕對貧困戶”與“相對貧困戶”，同時按家庭平均受教育程度分為“家庭平均受教育年限年”與“家庭平均受教育年限年”，具體調査結果如下表所示：

平均受教育年限年

平均受教育年限年

總計

絕對貧困戶

10

40

50

相對貧困戶

20

30

50

總計

30

70

100

（1）為了參加扶貧辦公室舉辦的貧困戶“談心談話”活動，現通過分層抽樣從“家庭平均受教育年限年”的戶貧困戶中任意抽取戶，再從所抽取的戶中隨機抽取戶參加“談心談話”活動，求至少有戶是絕對貧困戶的概率；

（2）根據上述表格判斷：是否有的把握認為貧困程度與家庭平均受教育程度有關？

參考公式：

參考數據：

0.050

0.010

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】過橢圓的左頂點作斜率為2的直線，與橢圓的另一個交點為，與軸的交點為，已知.

（1）求橢圓的離心率；

（2）設動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點，若軸上存在一定點，使得，求橢圓的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中， 平面，四邊形是菱形， ， ，且， 交于點， 是上任意一點.

（1）求證： ；

（2）已知二面角的余弦值為，若為的中點，求與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知真命題:“函數的圖象關于點成中心對稱圖形”的充要條件為“函數是奇函數”．

（Ⅰ）將函數的圖象向左平移1個單位,再向上平移2個單位,求此時圖象對應的函數解析式,并利用題設中的真命題求函數圖象對稱中心的坐標;

（Ⅱ）求函數圖象對稱中心的坐標;

（Ⅲ）已知命題:“函數的圖象關于某直線成軸對稱圖象”的充要條件為“存在實數和,使得函數是偶函數”．判斷該命題的真假．如果是真命題,請給予證明;如果是假命題,請說明理由,并類比題設的真命題對它進行修改,使之成為真命題（不必證明）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設橢圓的左頂點為，右頂點為，已知橢圓的離心率為，且以線段為直徑的圓被直線所截的弦長為．

（1）求橢圓的方程；

（2）記橢圓的右焦點為，過點且斜率為的直線交橢圓于兩點．若線段的垂直平分線與軸交于點，求的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，其中m為常數，且是函數的極值點．

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅰ）若在上恒成立，求實數的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知正四棱錐的底面邊長為，側棱，E為側棱PB上一點且，在內（包括邊界）任意取一點F，則的取值范圍為__________.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）求f(x)的最大值；

（2）設函數，若對任意實數，當時，函數的最大值為，求a的取值范圍；

（3）若數列的各項均為正數，，.求證：.

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