Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求f(x)的最大值；

（2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，求a的取值范圍；

（3）若數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，.求證：.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.（3）證明見解析

【解析】

（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并判斷函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最大值；

（2），先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是，不滿足條件，當(dāng)時(shí)，令有，比較極值點(diǎn)大小，討論單調(diào)性，求的取值范圍；

（3），由（1）知：，即有不等式，由已知條件知，則，根據(jù)不等式的傳遞性得到證明.

（1）的定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

所以

（2）由題意

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，不存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為.

②當(dāng)時(shí)，令有，

(i)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，顯然符合題意.

(ii)當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)再和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，且，

要使對(duì)任意實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，只需，解得又所以此時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是.

(iii)當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，要對(duì)任意實(shí)數(shù),當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，需代入化簡(jiǎn)得，①

令，

因?yàn)?/span>恒成立，

故恒有，所以時(shí)，①式恒成立，

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（3）由題意，正項(xiàng)數(shù)列滿足：

由（1）知：，即有不等式

由已知條件知

故

從而當(dāng)時(shí)，

所以有對(duì)也成立，

所以有