Question

【題目】已知正四棱錐的底面邊長為，側棱，E為側棱PB上一點且，在內（包括邊界）任意取一點F，則的取值范圍為__________.

Answer 1

【答案】

【解析】

根據對稱性可知，，然后根據可求得最小值，當、、三點不共線時，設平面，根據，或可知，的最大值是或，通過計算比較可得最大值.

如圖：

由可得，

因為點與點關于平面對稱，所以，

所以，當且僅當、、三點共線時，取得等號，

因為，又，所以三角形為等邊三角形，所以，

在三角形中，，

所以的最小值為.

根據對稱性，只研究在三角形內（包括邊界）的情形，

當、、三點不共線時，設平面，顯然（當重合時等號成立），

又（當重合時等號成立），或者（當重合時等號成立），

所以的最大值是或，

因為，

所以，

所以，

所以，所以（當重合時取得等號），

所以的取值范圍是.

故答案為：.