【題目】在直三棱柱中,為正三角形,點在棱上,且,點分別為棱,的中點.

(1)證明:平面

(2)若,求直線與平面所成的角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析;(2).

【解析】試題分析:(1)連接,,交于點于點,連接,易證,從而得證;(2)以點為坐標原點,分別以,的方向為軸,軸,軸的正方向,建立空間直角坐標系平面的法向量為,利用公式即可得到直線與平面所成的角的正弦值.

試題解析:

(1)證明:如圖,連接,,交于點,于點,連接,

因為為矩形,所以為線段的中點,

因為點,分別為棱,的中點,

所以點為線段的中點,所以,

又因為,所以,

平面,平面,

所以平面;

(2)由(1)知,,因為平面,所以平面,

因為為正三角形,且點為棱的中點,

所以

故以點為坐標原點,分別以,,的方向為軸,軸,軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系,設,

,,

所以,

因為,所以,

所以,解得.

所以,

設平面的法向量為

,所以

,則,

又因為,設直線與平面所成的角為,

所以,

所以直線與平面所成的角的正弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓: 的一個焦點與拋物線的焦點重合,且過點.過點的直線交橢圓, 兩點, 為橢圓的左頂點.

(Ⅰ)求橢圓的標準方程;

(Ⅱ)求面積的最大值,并求此時直線的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】2018海南高三階段性測試(二模)如圖,在直三棱柱中, ,點的中點,點上一動點.

I)是否存在一點,使得線段平面?若存在,指出點的位置,若不存在,請說明理由.

II)若點的中點且,求三棱錐的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,四棱錐P-ABCD中, PA⊥平面ABCD,EBD的中點,GPD的中點,△DAB≌△DCB,EA=EB=AB=1 ,連接CE并延長交ADF

Ⅰ)求證:ADCG

Ⅱ)求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】依據(jù)某地某條河流8月份的水文觀測點的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)所繪制的頻率分布直方圖如圖(甲)所示;依據(jù)當?shù)氐牡刭|(zhì)構造,得到水位與災害等級的頻率分布條形圖如圖(乙)所示.

試估計該河流在8月份水位的中位數(shù);

1)以此頻率作為概率,試估計該河流在8月份發(fā)生1級災害的概率;

2)該河流域某企業(yè),在8月份,若沒受12級災害影響,利潤為500萬元;若受1級災害影響,則虧損100萬元;若受2級災害影響則虧損1000萬元.

現(xiàn)此企業(yè)有如下三種應對方案:

方案

防控等級

費用(單位:萬元)

方案一

無措施

0

方案二

防控1級災害

40

方案三

防控2級災害

100

試問,如僅從利潤考慮,該企業(yè)應選擇這三種方案中的哪種方案?說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某種植園在芒果臨近成熟時,隨機從一些芒果樹上摘下100個芒果,其質(zhì)量分別在,,,,(單位:克)中,經(jīng)統(tǒng)計得頻率分布直方圖如圖所示.

(1)現(xiàn)按分層抽樣從質(zhì)量為,的芒果中隨機抽取個,再從這個中隨機抽取個,記隨機變量表示質(zhì)量在內(nèi)的芒果個數(shù),求的分布列及數(shù)學期望.

(2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的平均值,將頻率視為概率,某經(jīng)銷商來收購芒果,該種植園中還未摘下的芒果大約還有個,經(jīng)銷商提出如下兩種收購方案:

A:所以芒果以/千克收購;

B:對質(zhì)量低于克的芒果以/個收購,高于或等于克的以/個收購.

通過計算確定種植園選擇哪種方案獲利更多?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設函數(shù)的定義域為,若滿足條件:存在,使上的值域為,則稱為“倍縮函數(shù)”.若函數(shù)為“倍縮函數(shù)”,則實數(shù)的取值范圍是

A. (﹣∞,ln2﹣1) B. (﹣∞,ln2﹣1]

C. (1﹣ln2,+∞) D. [1﹣ln2,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

1)當時,求曲線在點處的切線方程;

2)當時,討論的單調(diào)性.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),在以坐標原點為極點,軸非負軸為極軸的極坐標系中,曲線(為極角).

(1)將曲線化為極坐標方程,當時,將化為直角坐標方程;

(2)若曲線相交于一點,求點的直角坐標使到定點的距離最小.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案