【題目】依據(jù)某地某條河流8月份的水文觀測(cè)點(diǎn)的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所繪制的頻率分布直方圖如圖（甲）所示；依據(jù)當(dāng)?shù)氐牡刭|(zhì)構(gòu)造，得到水位與災(zāi)害等級(jí)的頻率分布條形圖如圖（乙）所示．

試估計(jì)該河流在8月份水位的中位數(shù)；

（1）以此頻率作為概率，試估計(jì)該河流在8月份發(fā)生1級(jí)災(zāi)害的概率；

（2）該河流域某企業(yè)，在8月份，若沒(méi)受1、2級(jí)災(zāi)害影響，利潤(rùn)為500萬(wàn)元；若受1級(jí)災(zāi)害影響，則虧損100萬(wàn)元；若受2級(jí)災(zāi)害影響則虧損1000萬(wàn)元．

現(xiàn)此企業(yè)有如下三種應(yīng)對(duì)方案：

方案

防控等級(jí)

費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）

方案一

無(wú)措施

0

方案二

防控1級(jí)災(zāi)害

40

方案三

防控2級(jí)災(zāi)害

100

試問(wèn)，如僅從利潤(rùn)考慮，該企業(yè)應(yīng)選擇這三種方案中的哪種方案？說(shuō)明理由．

【答案】（1）（2）應(yīng)選方案二．

【解析】【試題分析】中位數(shù)是左右兩邊小長(zhǎng)方形面積為的地方.（1）由于乙圖中頻率分成個(gè)部分，故將水位頻率和對(duì)應(yīng)級(jí)災(zāi)害的頻率對(duì)應(yīng)起來(lái)，利用相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式，將發(fā)生級(jí)災(zāi)害的概率計(jì)算出來(lái).（2）分別計(jì)算方案、方案和方案對(duì)應(yīng)的利潤(rùn)分布列及數(shù)學(xué)期望，由此判斷出方案較合理.

【試題解析】

（1）依據(jù)甲圖，記該河流8月份“水位小于40米”為事件，“水位在40米至50米之間”為事件，“水位大于50米”為事件，它們發(fā)生的概率分別為：

，

．

記該地8月份“水位小于40米且發(fā)生1級(jí)災(zāi)害”為事件，“水位在40米至50米之間且發(fā)生1級(jí)災(zāi)害”為事件，“水位大于50米且發(fā)生1級(jí)災(zāi)害”為事件，

所以．

記“該河流在8月份發(fā)生1級(jí)災(zāi)害”為事件．則

．

估計(jì)該河流在8月份發(fā)生1級(jí)災(zāi)害的概率為．

（2）以企業(yè)利潤(rùn)為隨機(jī)變量，

選擇方案一，則利潤(rùn)（萬(wàn)元）的取值為： ，由（1）知

．

的分布列為

X1

500

－100

－1000

P

0.81

0.155

0.035

則該企業(yè)在8月份的利潤(rùn)期望

（萬(wàn)元）．

選擇方案二，則（萬(wàn)元）的取值為： ，由（1）知，

，

的分布列為：

X2

460

－1040

P

0.965

0.035

則該企業(yè)在8月份的平均利潤(rùn)期望（萬(wàn)元）

選擇方案三，則該企業(yè)在8月份的利潤(rùn)為： （萬(wàn)元）由于，因此企業(yè)應(yīng)選方案二．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（Ⅱ）若平面平面， 為等邊三角形，且，求三棱錐的體積.

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（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性及最值；

（2）若函數(shù)不存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）取垂直于x軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P，，過(guò)P、作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外．若，求圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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（1）令，求所有滿足，且的的個(gè)數(shù)；

（2）給定，對(duì)于集合中的所有，求的和.

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