【題目】如圖,四邊形是邊長為的正方形, 平面, ,且, .
(I)求證: 平面.
(II)求與平面所成角的正弦值.
(III)為直線上一點,且平面平面,求的值.
【答案】(I)見解析;(II).
【解析】試題分析:(Ⅰ)通過證明平面與平面平行的判定定理證明平面AMD∥平面BCN,然后證明AM∥平面BCN;
(Ⅱ)以D為原點,DA,DC,DM所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面MNC的法向量以及直線AN向量,然后求AN與平面MNC所成角的正弦值;
(Ⅲ)設(shè)E(x,y,z),,得到點的坐標(biāo)為,通過平面平面,只要, 即可.
試題解析:
(I)證明:∵是正方形,
∴,
∵平面, 平面,
∴平面,
∵,
∵平面, 平面,
∴平面,
∵, 平面, 平面,
∴平面平面,
∵平面,
∴平面.
(也可建立直角坐標(biāo)系,證明垂直平面的法向量,酌情給分)
(II)∵平面, 是正方形,
所以,可選點為原點, , , 所在直線分別為, , 軸,建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),
則, , , ,
∴, , ,
設(shè)平面的法向量,
則,令,則,
設(shè)與平面所成角為,
∴.
(III)設(shè), ,
∴,
又∵, ,
∴點的坐標(biāo)為.
∵面,
∴,欲使平面平面,只要,
∵, ,
∵,
∴.
∴,
所以.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《算法統(tǒng)綜》是明朝程大位所著數(shù)學(xué)名著,其中有這樣一段表述:“遠(yuǎn)看巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一”,其意大致為:有一七層寶塔,每層懸掛的紅燈數(shù)為上一層的兩倍,共有381盞燈,則塔從上至下的第三層有( )盞燈.
A.14
B.12
C.10
D.8
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列四個命題:
①樣本方差反映的是所有樣本數(shù)據(jù)與樣本平均值的偏離程度;
②基本事件空間是Ω={1,2,3,4,5,6},若事件A={1,3},B={3,5,6},A,B為互斥事件,但不是對立事件;
③某校高三(1)班和高三(2)班的人數(shù)分別是m,n,若一?荚嚁(shù)學(xué)平均分分別是a,b,則這兩個班的數(shù)學(xué)平均分為;
④如果平面外的一條直線上有兩個點到這個平面的距離相等,那么這條直線與這個平面的位置關(guān)系為平行或相交。
其中真命題的序號是__________。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從參加某次高中英語競賽的學(xué)生中抽出100名,將其成績整理后,繪制頻率分布直方圖(如圖所示).其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為: , , , , , .
(Ⅰ)試求圖中的值,并計算區(qū)間上的樣本數(shù)據(jù)的頻率和頻數(shù);
(Ⅱ)試估計這次英語競賽成績的眾數(shù)、中位數(shù)及平均成績(結(jié)果精確到).
注:同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知三棱臺ABC﹣A1B1C1中,平面BB1C1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,BB1=CC1=B1C1=2,BC=4,AC=6
(1)求證:BC1⊥平面AA1C1C
(2)點D是B1C1的中點,求二面角A1﹣BD﹣B1的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:集合,其中
.,稱為的第個坐標(biāo)分量.若,且滿足如下兩條性質(zhì):
①中元素個數(shù)不少于個.
②,,,存在,使得,,的第個坐標(biāo)分量都是.則稱為的一個好子集.
()若為的一個好子集,且,,寫出,.
()若為的一個好子集,求證:中元素個數(shù)不超過.
()若為的一個好子集且中恰好有個元素,求證:一定存在唯一一個,使得中所有元素的第個坐標(biāo)分量都是.
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