【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線交y軸正半軸于點(diǎn)B，且有，當(dāng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為6時(shí)，為正三角形.

（1）求C的方程；

（2）若直線，且和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)D，證明：直線AD過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】（1）；（2）證明見解析，

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的焦半徑公式，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，求出的值；

（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方程，利用直線，且和有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出直線的方程，將方程化為點(diǎn)斜式，可求出定點(diǎn)．

（1）

可得其焦點(diǎn)為：，

設(shè)，則FB的中點(diǎn)為，

，由拋物線的定義知，

解得或（舍去）

由，解得，

C的方程為：.

（2）由（1）知.設(shè)，，，，

，

則，

由得，故，

可得直線l的斜率.

設(shè)，

由題知為C在D處的切線，D點(diǎn)坐標(biāo)滿足：，，

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知的斜率，

故，，（此處也可設(shè)的方程，與拋物線方程聯(lián)立方程組，然后由得到D點(diǎn)坐標(biāo)）.

，

故直線AD的方程為：.

由，得，

直線AD過定點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某工廠的,,三個(gè)不同車間生產(chǎn)同一產(chǎn)品的數(shù)量(單位:件)如下表所示.質(zhì)檢人員用分層抽樣的方法從這些產(chǎn)品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測:

車間

數(shù)量

50

150

100

(1)求這6件樣品中來自,,各車間產(chǎn)品的數(shù)量;

(2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件進(jìn)行進(jìn)一步檢測,求這2件產(chǎn)品來自相同車間的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率為.

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若，，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著食品安全問題逐漸引起人們的重視，有機(jī)、健康的高端綠色蔬菜越來越受到消費(fèi)者的歡迎，同時(shí)生產(chǎn)—運(yùn)輸—銷售一體化的直銷供應(yīng)模式,不僅減少了成本，而且減去了蔬菜的二次污染等問題.

（1）在有機(jī)蔬菜的種植過程中，有機(jī)肥料使用是必不可少的.根據(jù)統(tǒng)計(jì)某種有機(jī)蔬菜的產(chǎn)量與有機(jī)肥料的用量有關(guān)系，每個(gè)有機(jī)蔬菜大棚產(chǎn)量的增加量（百斤）與使用堆漚肥料（千克）之間對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表

使用堆漚肥料（千克）

2

4

5

6

8

產(chǎn)量的增加量（百斤）

3

4

4

4

5

依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；并根據(jù)所求線性回歸方程，估計(jì)如果每個(gè)有機(jī)蔬菜大棚使用堆漚肥料10千克，則每個(gè)有機(jī)蔬菜大棚產(chǎn)量增加量是多少百斤?

（2）某大棚蔬菜種植基地將采摘的有機(jī)蔬菜以每份三斤稱重并保鮮分裝,以每份10元的價(jià)格銷售到生鮮超市.“樂購”生鮮超市以每份15元的價(jià)格賣給顧客，如果當(dāng)天前8小時(shí)賣不完，則超市通過促銷以每份5元的價(jià)格賣給顧客（根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)天能夠把剩余的有機(jī)蔬菜都低價(jià)處理完畢，且處理完畢后，當(dāng)天不再進(jìn)貨）.該生鮮超市統(tǒng)計(jì)了100天有機(jī)蔬菜在每天的前8小時(shí)內(nèi)的銷售量（單位:份），制成如下表格(注:，且)；

前8小時(shí)內(nèi)的銷售量（單位:份）

15

16

17

18

19

20

21

頻數(shù)

10

x

16

6

15

13

y

若以100天記錄的頻率作為每日前8小時(shí)銷售量發(fā)生的概率，該生鮮超市當(dāng)天銷售有機(jī)蔬菜利潤的期望值為決策依據(jù)，當(dāng)購進(jìn)17份比購進(jìn)18份的利潤的期望值大時(shí)，求的取值范圍.

附：回歸直線方程為，其中.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖所示，圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為（ ）

A. B. C. D. 2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1，在中, 分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，如圖2.

（1）求證： ；

（2）線段上是否存在點(diǎn)，使平面？說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校為進(jìn)一步規(guī)范校園管理，強(qiáng)化飲食安全，提出了“遠(yuǎn)離外賣，健康飲食”的口號(hào)．當(dāng)然，也需要學(xué)校食堂能提供安全豐富的菜品來滿足同學(xué)們的需求．在學(xué)期末，校學(xué)生會(huì)為了調(diào)研學(xué)生對(duì)本校食堂A部和B部的用餐滿意度，從在A部和B部都用過餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取了200人，每人分別對(duì)其評(píng)分，滿分為100分．隨后整理評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，將分?jǐn)?shù)分成6組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組，得到A部分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖和B部分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表．

分?jǐn)?shù)區(qū)間

頻數(shù)

7

18

21

24

70

60

定義：學(xué)生對(duì)食堂的“滿意度指數(shù)”

分?jǐn)?shù)

滿意度指數(shù)

0

1

2

3

4

5

（1）求A部得分的中位數(shù)（精確到小數(shù)點(diǎn)后一位）；

（2）A部為進(jìn)一步改善經(jīng)營，從打分在80分以下的前四組中，采用分層抽樣的方法抽取8人進(jìn)行座談，再從這8人中隨機(jī)抽取3人參與“端午節(jié)包粽子”實(shí)踐活動(dòng)，在第3組抽到1人的情況下，第4組抽到2人的概率；

（3）如果根據(jù)調(diào)研結(jié)果評(píng)選學(xué)生放心餐廳，應(yīng)該評(píng)選A部還是B部（將頻率視為概率）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線C1：x2＝2py（p＞0），圓C2：x2+y2﹣8y+12＝0的圓心M到拋物線C1的準(zhǔn)線的距離為，點(diǎn)P是拋物線C1上一點(diǎn)，過點(diǎn)P，M的直線交拋物線C1于另一點(diǎn)Q，且|PM|＝2|MQ|，過點(diǎn)P作圓C2的兩條切線，切點(diǎn)為A、B．

（Ⅰ）求拋物線C1的方程；

（Ⅱ）求直線PQ的方程及的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】紙張的規(guī)格是指紙張制成后，經(jīng)過修整切邊，裁成一定的尺寸.現(xiàn)在我國采用國際標(biāo)準(zhǔn)，規(guī)定以、、、、、等標(biāo)記來表示紙張的幅面規(guī)格.復(fù)印紙幅面規(guī)格只采用系列和系列，其中系列的幅面規(guī)格為：①、、、、所有規(guī)格的紙張的幅寬（以表示）和長度（以表示）的比例關(guān)系都為；②將紙張沿長度方向?qū)﹂_成兩等分，便成為規(guī)格，紙張沿長度方向?qū)﹂_成兩等分，便成為規(guī)格，…，如此對(duì)開至規(guī)格.現(xiàn)有、、、、紙各一張.若紙的寬度為，則紙的面積為________；這張紙的面積之和等于________.

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