Question

【題目】已知定義域為的函數(shù)的圖象為曲線，曲線在點(diǎn)的切線為（其中）．

（Ⅰ）求實數(shù)的值；

（Ⅱ）證明：（i）；

（ii）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（）證明見解析，（ii）證明見解析

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可寫出曲線在處的切線方程，進(jìn)而求得實數(shù)的值；

（Ⅱ）（i）令，對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，即可得證；

（ii）當(dāng)時，證明，構(gòu)造，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，計算最值得證，即，聯(lián)合（i）中結(jié)論得到答案.

（Ⅰ），于是，

所以曲線在處的切線方程為，

整理得，所以可得．

（Ⅱ）證明：（）令，則，

易知當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，

所以，所以．

（ii）由（Ⅰ）可知，令，則，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，所以在上單調(diào)遞增，

所以．

因為過點(diǎn)，且在處的切線方程為，

故可猜測：

當(dāng)時，的圖象恒在切線的上方．

下證：當(dāng)時，．

設(shè)，則，

令，則，/p>

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

又，所以，

所以存在，使得，

所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，

故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，

故．

又由（i）可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．