【題目】已知圓C:x2+y2﹣2x+4my+4m2=0,圓C1:x2+y2=25,以及直線l:3x﹣4y﹣15=0.
(1)求圓C1:x2+y2=25被直線l截得的弦長;
(2)當(dāng)m為何值時,圓C與圓C1的公共弦平行于直線l;
(3)是否存在m,使得圓C被直線l所截的弦AB中點到點P(2,0)距離等于弦AB長度的一半?若存在,求圓C的方程;若不存在,請說明理由.

【答案】解:(1)因為圓的圓心O(0,0),半徑r=5,
所以,圓心O到直線l:3x﹣4y﹣15=0的距離d:,由勾股定理可知,
被直線l截得的弦長為
(2)圓C與圓C1的公共弦方程為2x﹣4my﹣4m2﹣25=0,
因為該公共弦平行于直線3x﹣4y﹣15=0,
,
解得:m=
經(jīng)檢驗m=符合題意,故所求m=;
(3)假設(shè)這樣實數(shù)m存在.
設(shè)弦AB中點為M,由已知得|AB|=2|PM|,即|AM|=|BM|=|PM|
所以點P(2,0)在以弦AB為直徑的圓上.
設(shè)以弦AB為直徑的圓方程為:x2+y2﹣2x+4my+4m2+λ(3x﹣4y﹣15)=0,

消去λ得:100m2﹣144m+216=0,25m2﹣36m+54=0
因為△=362﹣4×25×54=36(36﹣25×6)<0
所以方程25m2﹣36m+54=0無實數(shù)根,
所以,假設(shè)不成立,即這樣的圓不存在.
【解析】(1)根據(jù)直線和圓相交的弦長公式即可求圓C1:x2+y2=25被直線l截得的弦長;
(2)求出兩圓的公共弦結(jié)合直線平行的條件即可求出直線l;
(3)根據(jù)兩點間的距離公式結(jié)合弦長關(guān)系即可得到結(jié)論.

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