已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，.
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，過右焦點(diǎn)，且斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，為橢圓的右頂點(diǎn)，直線分別交直線于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，記直線的斜率為.
求證: 為定值.
（1）；（2）詳見解析

試題分析：（1）由點(diǎn)為短軸的一個(gè)端點(diǎn)可知，在直角三角形中已知，從而可得。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051229824542.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.（2）設(shè)過點(diǎn)的直線方程為：，與橢圓方程聯(lián)立消去整理為關(guān)于的一元二次方程，設(shè)點(diǎn)即為方程的兩根，可得根與系數(shù)的關(guān)系。由斜率公式可分別求得直線和直線的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式可得兩直線方程。直線和直線分別與直線聯(lián)立，求交點(diǎn)。根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)坐標(biāo)。根據(jù)斜率公式求。即可證得為定值。
解：（1）由條件可知，                                     2分
故所求橢圓方程為.                                 4分
（2）設(shè)過點(diǎn)的直線方程為：.                     5分
由可得：           6分
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以直線和橢圓都相交，即恒成立.
設(shè)點(diǎn)，則
.                        8分
因?yàn)橹本�的方程為：，
直線的方程為：，                    9分
令，可得，，
所以點(diǎn)的坐標(biāo).                       10分
直線的斜率為


             12分

                            
所以為定值.                                    13分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

給定橢圓，稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，半徑為的圓是橢圓C的“伴隨圓”，已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是.
（1）若橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)滿足，求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（2）在（1）的條件下，過點(diǎn)作直線l與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn)，且截橢圓C的“伴隨圓”所得弦長為，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）已知，是否存在a，b，使橢圓C的“伴隨圓”上的點(diǎn)到過兩點(diǎn)的直線的最短距離.若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分，（1）小問4分，（2）小問8分）已知為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，分別為其左右焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)，且不垂直于軸，的周長為，且橢圓的短軸長為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)為橢圓的左端點(diǎn)，連接并延長交直線于點(diǎn)．求證：直線過定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本題滿分16分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，
第3小題滿分6分．
已知橢圓過點(diǎn)，兩焦點(diǎn)為、，是坐標(biāo)原點(diǎn)，不經(jīng)過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩不同點(diǎn)、.
(1)求橢圓C的方程；       
(2) 當(dāng)時(shí)，求面積的最大值；
(3) 若直線、、的斜率依次成等比數(shù)列，求直線的斜率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（2011•山東）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓．如圖所示，斜率為k（k＞0）且不過原點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為E，射線OE交橢圓C于點(diǎn)G，交直線x=﹣3于點(diǎn)D（﹣3，m）．
（1）求m2+k2的最小值；
（2）若|OG|2=|OD|?|OE|，
（i）求證：直線l過定點(diǎn)；
（ii）試問點(diǎn)B，G能否關(guān)于x軸對稱？若能，求出此時(shí)△ABG的外接圓方程；若不能，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，且離心率為．
（1）求橢圓方程；
（2）斜率為的直線過點(diǎn)，且與橢圓交于兩點(diǎn)，為直線上的一點(diǎn)，若△為等邊三角形，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)為圓內(nèi)一定點(diǎn)，M是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是（  ）
A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．圓

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到直線l:x = 4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍.
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程;
（2）過點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A, B兩點(diǎn). 若A是PB的中點(diǎn), 求直線m的斜率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓：，左右焦點(diǎn)分別為，過的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若的最大值為5，則的值是 (    )
A．1B．C．D．

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