Question

（2011•山東）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓．如圖所示，斜率為k（k＞0）且不過(guò)原點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為E，射線OE交橢圓C于點(diǎn)G，交直線x=﹣3于點(diǎn)D（﹣3，m）．
（1）求m²+k²的最小值；
（2）若|OG|²=|OD|?|OE|，
（i）求證：直線l過(guò)定點(diǎn)；
（ii）試問(wèn)點(diǎn)B，G能否關(guān)于x軸對(duì)稱？若能，求出此時(shí)△ABG的外接圓方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）2    （2）見(jiàn)解析

（1）設(shè)y=kx+t（k＞0），
由題意，t＞0，由方程組，得（3k²+1）x²+6ktx+3t²﹣3=0，
由題意△＞0，
所以3k²+1＞t²，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=﹣，所以y₁+y₂=，
∵線段AB的中點(diǎn)為E，∴x_E=，y_E=，
此時(shí)k_OE==﹣．
所以O(shè)E所在直線方程為y=﹣x，
又由題設(shè)知D（﹣3，m）．
令x=﹣3，得m=，即mk=1，
所以m²+k²≥2mk=2，
（2）（i）證明：由（1）知OD所在直線方程為y=﹣x，
將其代入橢圓C的方程，并由k＞0，解得G（﹣，），
又E（，），D（﹣3，），
由距離公式和t＞0，得
|OG|²=（﹣）²+（）²=，
|OD|=，
|OE|==．
由|OG|²=|OD|?|OE|，
得t=k，
因此直線l的方程為y=k（x+1），
所以直線l恒過(guò)定點(diǎn)（﹣1，0）；
（ii）由（i）得G（﹣，），
若點(diǎn)B，G關(guān)于x軸對(duì)稱，則B（﹣，﹣），
將點(diǎn)B坐標(biāo)代入y=k（x+1），
整理得，
即6k⁴﹣7k²+1=0，解得k²=或k²=1，
驗(yàn)證知k²=時(shí)，不成立，故舍去
所以k²=1，又k＞0，故k=1，
此時(shí)B（﹣，﹣），G（﹣，）關(guān)于x軸對(duì)稱，
又由（I）得x₁=0，y₁=1，所以點(diǎn)A（0，1），
由于△ABG的外接圓的圓心在x軸上，可設(shè)△ABG的外接圓的圓心為（d，0），
因此d²+1=（d+）²+，解得d=﹣，
故△ABG的外接圓的半徑為r==，
所以△ABG的外接圓方程為．