Question

已知?jiǎng)訄A與圓相切，且與圓相內(nèi)切，記圓心的軌跡為曲線；設(shè)為曲線上的一個(gè)不在軸上的動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交曲線于兩個(gè)不同的點(diǎn).
（1）求曲線的方程；
（2）試探究和的比值能否為一個(gè)常數(shù)？若能，求出這個(gè)常數(shù)，若不能，請說明理由；
（3）記的面積為，的面積為，令，求的最大值.

Answer 1

（1）圓心的軌跡：；
（2）和的比值為一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)為；
（3）當(dāng)時(shí)，取最大值.

試題解析：（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，半徑為 
由于動(dòng)圓與圓相切，且與圓相內(nèi)切，所以動(dòng)
圓與圓只能內(nèi)切
                               2分
圓心的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，其中，

故圓心的軌跡：                                             4分
（2）設(shè)，直線，則直線
由可得：，
                       6分
由可得：


                        8分

和的比值為一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)為                            9分
（3），的面積的面積，
到直線的距離
                     11分
令，則

（當(dāng)且僅當(dāng)，即，亦即時(shí)取等號）
當(dāng)時(shí)，取最大值                                13分