Question

【題目】已知函數(shù)，為常數(shù)，且.

（1）證明函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；

（2）當(dāng)時(shí)，討論方程解的個(gè)數(shù)；

（3）若滿足，但，則稱為函數(shù)的二階周期點(diǎn)，則是否有兩個(gè)二階周期點(diǎn)，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）略；（2）當(dāng)或時(shí)，方程有2個(gè)解；當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)解；當(dāng)時(shí)，方程有4個(gè)解；（3）只有是二階周期點(diǎn).

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)對(duì)稱的性質(zhì)即可證明函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱。

（2）當(dāng)時(shí)，求出的表達(dá)式，利用數(shù)形結(jié)合得到結(jié)論。

（3）根據(jù)階周期點(diǎn)的定義，分別求滿足條件的，即可得到結(jié)論。

（1）證明：設(shè)點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，則

所以，函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱。

（2）當(dāng)時(shí)

，

所以，當(dāng)時(shí)，方程有個(gè)解；時(shí)，方程有個(gè)解；當(dāng)時(shí)，方程有個(gè)解；當(dāng)時(shí)，方程有個(gè)解。

綜上：當(dāng)或時(shí)，方程有個(gè)解；當(dāng)時(shí)，方程有個(gè)解；當(dāng)時(shí)，方程有個(gè)解。

（3）因?yàn)?/span> ，

所以當(dāng)，

若，即，

若，即 ，

當(dāng)，同理可得：

時(shí)，；

時(shí)，.

所以 ，

從而由得 ，

又 ，

，

，

所以只有是二階周期點(diǎn)。