Question

【題目】定義：直線關(guān)于圓的圓心距單位圓心到直線的距離與圓的半徑之比.

（1）設(shè)圓，求過點的直線關(guān)于圓的圓心距單位的直線方程.

（2）若圓與軸相切于點，且直線關(guān)于圓的圓心距單位，求此圓的方程.

（3）是否存在點，使過點的任意兩條互相垂直的直線分別關(guān)于相應(yīng)兩圓與的圓心距單位始終相等？若存在，求出相應(yīng)的點坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）存在，.

【解析】

（1）設(shè)過的直線方程為，求得已知圓的圓心和半徑，由新定義，可得方程，求得，即可得到所求直線方程；

（2）設(shè)圓的方程為，由題意可得，①②，③，解方程可得，，，進而得到所求圓的方程；

（3）假設(shè)存在點，設(shè)過的兩直線為和，求得兩圓的圓心和半徑，由新定義可得方程，化簡整理可得，或，再由恒成立思想可得，的方程，解方程可得的坐標．

解：（1）設(shè)過的直線方程為，

圓的圓心為，半徑為1，

由題意可得，

解得，

即有所求直線為；

（2）設(shè)圓的方程為，

由題意可得，①

②，③

解方程可得，，，或，，．

則圓的方程為或；

（3）假設(shè)存在點，設(shè)過的兩直線為和

，又的圓心為，半徑為1，

的圓心為，半徑為2，

由題意可得，

化簡可得，或，

即有或，

解得或．

則存在這樣的點和，使得使過的任意兩條互相垂直的直線

分別關(guān)于相應(yīng)兩圓的距離比始終相等．