Question

【題目】已知函數(shù)為奇函數(shù)．

(1)求常數(shù)的值；

(2)設(shè)，證明函數(shù)在(1，＋∞)上是減函數(shù)；

(3)若函數(shù)，且在區(qū)間[3,4]上沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）m>或m<－.

【解析】試題分析：（1）由于為奇函數(shù)，可得，即可得出；（2）利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和不等式的性質(zhì)通過作差即可得出；（3）利用（2）函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

試題解析：∵f(x)＝為奇函數(shù)

∴f(－x)＝－f(x)，即＝－＝，

∴，即1－k2x2＝1－x2，整理得k2＝1.

∴k＝－1(k＝1使f(x)無意義而舍去)．

(2)證明：由(1)得，k＝－1，h(x)＝，任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，

則h(x2)－h(x1)＝＝.

∵x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，

∴x1－x2<0，x1－1>0，x2－1>0，

∴h(x2)－h(x1)＝，

∴h(x1)>h(x2)，

∴函數(shù)y＝h(x)在(1，＋∞)是減函數(shù)．

(3)解：由(2)知，f(x)在(1，＋∞)上遞增，

∴g(x)＝f(x)—＋m在[3,4]遞增．

∵g(x)在區(qū)間[3,4]上沒有零點(diǎn)．

∴g(3)＝－＋m＝＋m>0或g(4)＝－＋m＝， ＋m<0，

∴m>或m<－.