【題目】如圖所示,拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,經過點F的直線l與拋物線交于P,Q兩點,弦PQ的中點為N,經過點N作y軸的垂線與C的準線交于點T.
(Ⅰ)若直線l的斜率為1,且|PQ|=4,求拋物線C的標準方程;
(Ⅱ)證明:無論p為何值,以線段TN為直徑的圓總經過點F.
【答案】(Ⅰ)解:由直線l的斜率為1,可設直線l的方程為y=x﹣ ,
與拋物線C的方程聯(lián)立,化簡得x2﹣3px+ =0,
設P(x1,y1),Q(x2,y2),由韋達定理可知,x1+x2=3p,
∴|PQ|=x1+x2+p=4p=4,p=1,
∴拋物線C的方程為y2=2x.
(Ⅱ)證明:設直線l的方程為x=my+ ,
與拋物線C的方程聯(lián)立,化簡得y2﹣2pmy﹣p2=0,
設P(x1,y1),Q(x2,y2),由韋達定理可知,y1+y2=2pm,
∴x1+x2=m(y1+y2)+p=2pm2+p,
∴點N的坐標為(pm2+ ,pm),
∴點T的坐標為(﹣ ,pm),
∴ =(﹣p,pm), =(pm2,pm),
∴ =﹣p2m2+p2m2=0,
∴無論p為何值,以線段TN為直徑的圓總經過點F
【解析】(Ⅰ)用p表示出直線l的方程,將其與拋物線的方程聯(lián)立后利用韋達定理用p表示出PQ的長,進而求得p的值,即可得到拋物線的方程;(Ⅱ)若線段TN為直徑的圓總經過點F,則FT與FN互相垂直,從而找到證明的突破口.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓 : 上的點 關于點 的對稱點為 ,記 的軌跡為 .
(1)求 的軌跡方程;
(2)設過點 的直線 與 交于 , 兩點,試問:是否存在直線 ,使以 為直徑的圓經過原點?若存在,求出直線 的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為奇函數(shù).
(1)求常數(shù)的值;
(2)設,證明函數(shù)在(1,+∞)上是減函數(shù);
(3)若函數(shù),且在區(qū)間[3,4]上沒有零點,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,PA= a,AD=2a.
(1)若AE⊥PD,E為垂足,求異面直線AE與CD所成角的余弦值;
(2)求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的正切值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】三棱錐A﹣BCD的所有棱長均為6,點P在AC上,且AP=2PC,過P作四面體的截面,使截面平行于直線AB和CD,則該截面的周長為( )
A.16
B.12
C.10
D.8
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的定義域;
(2)判斷函數(shù)的奇偶性,并說明理由;
(3)若函數(shù),求函數(shù)的零點.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓A:(x+1)2+y2=8,動圓M經過點B(1,0),且與圓A相切,O為坐標原點.
(Ⅰ)求動圓圓心M的軌跡C的方程;
(Ⅱ)直線l與曲線C相切于點M,且l與x軸、y軸分別交于P、Q兩點,若 =λ ,且λ∈[ ,2],求△OPQ面積S的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分別是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中點.求證:
(1)直線BC1∥平面EFPQ.
(2)直線AC1⊥平面PQMN.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)試比較與的大小關系,并給出證明;
(2)解方程: ;
(3)求函數(shù), (是實數(shù))的最小值.
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