Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證:.

Answer 1

【答案】（1）討論見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）首先確定函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)；令，當(dāng)可確定，得到函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，分別在和兩種情況下，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)性；

（2）令，得到，可知是方程在上的兩根，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)和韋達(dá)定理可確定，由此可將所證不等式轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)時(shí)，；即證，令，通過導(dǎo)數(shù)可求得，進(jìn)而證得結(jié)論.

（1）由得： 定義域?yàn)?/span>

令，則

①當(dāng)，即時(shí)，則，即 在上單調(diào)遞減

②當(dāng)，即時(shí)，令，解得：，

⑴當(dāng)時(shí)，

當(dāng)和時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即

在，上單調(diào)遞減；

在上單調(diào)遞增

⑵當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

（2）令

則

有兩個(gè)極值點(diǎn) 是方程在上的兩根

對(duì)稱軸為

又 ，又

要證，

即證：時(shí)，，，

令，則

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增

，故原不等式得證