【題目】如圖所示,某街道居委會(huì)擬在EF地段的居民樓正南方向的空白地段AE上建一個(gè)活動(dòng)中心,其中AE長(zhǎng)為30米.活動(dòng)中心東西走向,與居民樓平行.從東向西看活動(dòng)中心的截面圖的下部分是長(zhǎng)方形ABCD,上部分是以DC為直徑的半圓.為了保證居民樓住戶的采光要求,活動(dòng)中心在與半圓相切的太陽(yáng)光線照射下落在居民樓上的影長(zhǎng)GE不超過(guò)2.5米,其中該太陽(yáng)光線與水平線的夾角θ滿足tan θ=.
(1)若設(shè)計(jì)AB=18米,AD=6米,問(wèn)能否保證上述采光要求?
(2)在保證上述采光要求的前提下,如何設(shè)計(jì)AB與AD的長(zhǎng)度,可使得活動(dòng)中心的截面面積最大? (注:計(jì)算中π取3)
【答案】(1)能 (2)當(dāng)AB=20米且AD=5米時(shí),可使得活動(dòng)中心的截面面積最大.
【解析】
(1)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)太陽(yáng)光線所在直線方程為y=x+b,利用直線與圓相切,求出直線方程,令x=30,得EG=1.5米<2.5米,即
可得出結(jié)論;(2)欲使活動(dòng)中心內(nèi)部空間盡可能大,則影長(zhǎng)EG恰為2.5米,即可求出截面面積最大.
解:如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)因?yàn)?/span>AB=18米,AD=6米,
所以半圓的圓心為H(9,6),半徑r=9.
設(shè)太陽(yáng)光線所在直線方程為y=-x+b,
即3x+4y-4b=0,則由=9,
解得b=24或b= (舍).
故太陽(yáng)光線所在直線方程為y=-x+24,
令x=30,得EG=1.5<2.5.
所以此時(shí)能保證上述采光要求.
(2)設(shè)AD=h米,AB=2r米,
則半圓的圓心為H(r,h),半徑為r.
方法一 設(shè)太陽(yáng)光線所在直線方程為y=-x+b,
即3x+4y-4b=0,
由=r,解得b=h+2r或b=h- (舍).
故太陽(yáng)光線所在直線方程為y=-x+h+2r,
令x=30,得EG=2r+h-,
由EG≤,得h≤25-2r.
所以S=2rh+πr2=2rh+×r2≤2r(25-2r)+×r2
=-r2+50r=-(r-10)2+250≤250.
當(dāng)且僅當(dāng)r=10時(shí)取等號(hào).
所以當(dāng)AB=20米且AD=5米時(shí),
可使得活動(dòng)中心的截面面積最大.
方法二 欲使活動(dòng)中心內(nèi)部空間盡可能大,
則影長(zhǎng)EG恰為2.5米,則此時(shí)點(diǎn)G為(30,2.5),
設(shè)過(guò)點(diǎn)G的上述太陽(yáng)光線為l1,
則l1所在直線方程為y-=-(x-30),
即3x+4y-100=0.
由直線l1與半圓H相切,得r=.
而點(diǎn)H(r,h)在直線l1的下方,則3r+4h-100<0,
即r=-,從而h=25-2r.
又S=2rh+πr2=2r(25-2r)+×r2=-r2+50r=-(r-10)2+250≤250.當(dāng)且僅當(dāng)r=10時(shí)取等號(hào).
所以當(dāng)AB=20米且AD=5米時(shí),
可使得活動(dòng)中心的截面面積最大.
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A.0<x0<
B. <x0<1
C. <x0<
D. <x0
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B.(﹣1,0)∪(1,+∞)
C.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0)
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