【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F(xiàn)是橢圓P: (a>b>0)的右焦點(diǎn),已知A(0,﹣2)與橢圓左頂點(diǎn)關(guān)于直線y=x對稱,且直線AF的斜率為 ,
(1)求橢圓P的方程;
(2)過點(diǎn)Q(﹣1,0)的直線l交橢圓P于M、N兩點(diǎn),交直線x=﹣4于點(diǎn)E, = , = ,證明:λ+μ為定值.
【答案】
(1)解:設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F(c,0),左頂點(diǎn)為(﹣a,0),
由點(diǎn)A(0,﹣2)與橢圓左頂點(diǎn)關(guān)于直線y=x對稱,可得﹣ =﹣1,解得a=2,
由直線AF的斜率為 ,可得 = ,可得c= ,
即有b= =1,
則橢圓的方程為 +y2=1;
(2)解:依題意,直線l的斜率存在,故可設(shè)直線l的方程為y=k(x+1),
設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2)、E(﹣4,y3),
則M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組 ,
消去y并整理,得(1+4k2)x2+8k2x+4k2﹣4=0,
∴x1+x2=﹣ ①,x1x2= ②,
∵ = ,∴(﹣1﹣x1,﹣y1)=λ(x2+1,y2),
∴﹣1﹣x1=λ(x2+1),
∴λ= ,
令x=﹣4,可得y3=﹣3k,
由 = ,即(﹣4﹣x1,﹣3k﹣y1)=μ(x2+4,y2+3k),
可得μ= .
∴λ+μ= + = ,
將①②代入上式可得λ+μ=0.
故λ+μ為定值0.
【解析】(1)由對稱和直線的斜率公式,推導(dǎo)出a=2,c= ,由此能求出橢圓的方程;(2)依題意,直線l的斜率存在,故可設(shè)直線l的方程為y=k(x+1).設(shè)M(x1 , y1)、N(x2 , y2)、E(﹣4,y3),則M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)方程組 ,消去y并整理,得(1+4k2)x2+8k2x+4k2﹣4=0,然后利用根與系數(shù)的關(guān)系以及向量的共線的坐標(biāo)表示,化簡整理進(jìn)行求解可得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sinx﹣x,若f(cos2θ+2msinθ)+f(﹣2﹣2m)>0對任意的θ∈(0, )恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 .
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【題目】如圖所示,某街道居委會擬在EF地段的居民樓正南方向的空白地段AE上建一個活動中心,其中AE長為30米.活動中心東西走向,與居民樓平行.從東向西看活動中心的截面圖的下部分是長方形ABCD,上部分是以DC為直徑的半圓.為了保證居民樓住戶的采光要求,活動中心在與半圓相切的太陽光線照射下落在居民樓上的影長GE不超過2.5米,其中該太陽光線與水平線的夾角θ滿足tan θ=.
(1)若設(shè)計AB=18米,AD=6米,問能否保證上述采光要求?
(2)在保證上述采光要求的前提下,如何設(shè)計AB與AD的長度,可使得活動中心的截面面積最大? (注:計算中π取3)
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【題目】已知圓C:,直線 ,過的一條動直線與直線相交于N,與圓C相交于P,Q兩點(diǎn),M是PQ中點(diǎn).
(1)當(dāng)時,求直線的方程;
(2)設(shè),試問是否為定值,若為定值,請求出的值;若不為定值,請說明理由.
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【題目】已知各項(xiàng)為正的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , S4=30,過點(diǎn)P(n,log2an)和Q(n+2,log2an+1)(n∈N*)的直線的一個方向向量為(﹣1,﹣1)
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn= ,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn , 證明:對于任意n∈N* , 都有Tn .
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【題目】已知函數(shù)f(x)=m﹣|2x+1|﹣|2x﹣3|,若x0∈R,不等式f(x0)≥0成立,
(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)若x+2y﹣m=6,是否存在x,y,使得x2+y2=19成立,若存在,求出x,y值,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,分別為橢圓的左右焦點(diǎn),為橢圓的短軸頂點(diǎn),且.
(1)求橢圓的方程
(2)過作直線交橢圓于兩點(diǎn),求的面積的最大值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題:
①設(shè)A,B是兩個定點(diǎn),k為非零常數(shù),若|PA|-|PB|=k,則P的軌跡是雙曲線;
②過定圓C上一定點(diǎn)A作圓的弦AB,O為原點(diǎn),若.則動點(diǎn)P的軌跡是橢圓;
③方程的兩根可以分別作為橢圓和雙曲線的離心率;
④雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn).
其中正確命題的序號為________.
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【題目】在對人們的休閑方式的一次調(diào)查中,共調(diào)查了124人,其中女性70人,男性54人.女性中有43人主要的休閑方式是看電視,另外27人主要的休閑方式是運(yùn)動;男性中有21人主要的休閑方式是看電視,另外33人主要的休閑方式是運(yùn)動.
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個列聯(lián)表;
(2)判斷性別與休閑方式是否有關(guān)系.
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