Question

【題目】“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)”是“函數(shù)在上有反函數(shù)”的( )

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

Answer 1

【答案】A

【解析】

“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)”“函數(shù)在上有反函數(shù)”，反之不成立．即可判斷出結(jié)論

“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)”“函數(shù)在上有反函數(shù)”，下面給出證明：

若“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)”，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的值域為，任取，如果在中存在兩個或多于兩個的值與之對應(yīng)，設(shè)其中的某兩個為，且，即，但．

因為，所以 (或)．

由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)知： ，(或)，這與矛盾．因此在中有唯一的值與之對應(yīng)．由反函數(shù)的定義知：

函數(shù)在區(qū)間上存在反函數(shù)．

反之“函數(shù)在上有反函數(shù)”則不一定有“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)”，例如：函數(shù)，就存在反函數(shù)：

原函數(shù)和反函數(shù)圖象分別如下圖（1）（2）所示：

由圖象可知：函數(shù)在區(qū)間上并不單調(diào)．

綜上，“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)”是“函數(shù)在上有反函數(shù)”的充分不必要條件.

故選：A．