【題目】若數(shù)列{an}滿足:對任意nN*,均有an=bn+cn成立,且{bn},{cn}都是等比數(shù)列,則稱(bn,cn)是數(shù)列{an}的一個等比拆分.

1)若an=2n,且(bn,bn+1)是數(shù)列{an}的一個等比拆分,求{bn}的通項公式;

2)設(shè)(bn,cn)是數(shù)列{an}的一個等比拆分,且記{bn},{cn}的公比分別為q1,q2;

①若{an}是公比為q的等比數(shù)列,求證:q1=q2=q;

②若a1=1,a2=2,q1q2=﹣1,且對任意nN*,an+13<anan+1an+2+an+2an恒成立,求a3的取值范圍.

【答案】1.2)①答案見解析, ②(3,7).

【解析】

1)設(shè)數(shù)列{bn}的公比為q0,根據(jù)已知求出,即得{bn}的通項公式;(2)①由an=bn+cn,可得, 令n=1,2,3得:,對方程進行分析得q1=q2=q; ②令Tn,證明對任意nN*,均有Tn+1=﹣Tn成立,得,可得,解得3a37.

1)設(shè)數(shù)列{bn}的公比為q0,則(b1q00)對任意nN*成立,

n=1,2可得:,解得:,

,經(jīng)檢驗符合題意;

2)①由an=bn+cn,可得,

n=1,2,3得:

(1)代入(2)b1(q1q)=c1(qq2), (2)代入(3)b1q1(q1q)=c1q2(qq2),

如果q1,q2不全等于q,顯然它們一定都不等于q,

因此考慮q1qq2q的情況,此時用后式除以前式可得q1=q2,

再將其代入到a1=b1+c1,a1q=b1q1+c1q2,可得q1=q2=q,矛盾,

因此只能q1=q2=q,經(jīng)驗證符合題意;

②令Tn,

則當n為偶數(shù)時,,

同理,當n為奇數(shù)時,可算的,

所以對任意nN*,均有Tn+1=﹣Tn成立

Tn+1=﹣Tn可得,

因為an0,因此可化簡得,

所以,

要使原不等式恒成立,顯然必有an0,即恒成立,

T1=4a3,因此可得,解得3a37,

綜上所述,a3的取值范圍為(3,7).

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②當時,函數(shù)是單純函數(shù);

③若函數(shù)為其定義域內(nèi)的單純函數(shù), ,則

④若函數(shù)是單純函數(shù)且在其定義域內(nèi)可導,則在其定義域內(nèi)一定存在使其導數(shù),其中正確的命題為__________.(填上所有正確的命題序號)

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A.8B.6C.5D.4

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