【題目】設(shè)整數(shù)滿足.記.求f的最小值f0.并確定使f=f0成立的數(shù)組的個(gè)數(shù).
【答案】;個(gè).
【解析】
根據(jù)題設(shè)條件,化簡得到,在結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),即可求得最小值,再由對(duì)每個(gè)k(1≤k≤49),設(shè)等于k的項(xiàng)數(shù)為,結(jié)合方程的正整數(shù)解的組數(shù),即可求解.
由題意,,
可得, ①
由于及均為非負(fù)整數(shù),故有,
且,
于是,②
由①,②得,
結(jié)合及,
可知,③
另一方面,令,,,
此時(shí)驗(yàn)證,知上述所有不等式均取到等號(hào),從而f的最小值.
以下考慮③的取等條件.此時(shí),且②中的不等式均取等,
即.
因此,且對(duì)每個(gè)k(1≤k≤49),中至少有兩項(xiàng)等于k.易驗(yàn)證,知這也是③取等的充分條件.
對(duì)每個(gè)k(1≤k≤49),設(shè)等于k的項(xiàng)數(shù)為,
則nk為正整數(shù),且,
即,
該方程的正整數(shù)解的組數(shù)為,
且每組解唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)使④取等的數(shù)組,
故使成立的數(shù)組有個(gè).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)g(x)=ex﹣ax2﹣ax,h(x)=ex﹣2x﹣lnx.其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)若f(x)=h(x)﹣g(x).
①討論f(x)的單調(diào)性;
②若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(2)已知a>0,函數(shù)g(x)恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x1,x2,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)m=6時(shí),求函數(shù)的極值;
(2)若關(guān)于x的方程在區(qū)間[1,4]上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說過:“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形缺數(shù)時(shí)難入微數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事休.”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中,我們經(jīng)常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì),也經(jīng)常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象的特征,如某體育品牌的LOGO為,可抽象為如圖所示的軸對(duì)稱的優(yōu)美曲線,下列函數(shù)中,其圖象大致可“完美”局部表達(dá)這條曲線的函數(shù)是( )
A.B.
C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線與曲線的交線為直線.
(1)求直線和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)直線與軸交于點(diǎn),與曲線相交于,兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸為,則下列結(jié)論中正確的是( )
A.是最小正周期為的奇函數(shù)
B.是圖像的一個(gè)對(duì)稱中心
C.在上單調(diào)遞增
D.先將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短為原來的,然后把所得函數(shù)圖象再向左平移個(gè)單位長度,即可得到函數(shù)的圖象.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),證明曲線分別在點(diǎn)和點(diǎn)處的切線為不同的直線;
(3)已知過點(diǎn)能作曲線的三條切線,求,所滿足的條件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中
(1)若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào),求的取值范圍;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上有極大值,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有9位身高各異的同學(xué)拍照留念,分成前后兩排,前排4人,后排5人,要求每排同學(xué)的身高從中間到兩邊依次遞減,則不同的排隊(duì)方式有________種.
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