【題目】已知函數(shù)

1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

2)當(dāng)時(shí),證明曲線分別在點(diǎn)和點(diǎn)處的切線為不同的直線;

3)已知過點(diǎn)能作曲線的三條切線,求,所滿足的條件.

【答案】1上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減(2)證明見解析;(3)當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),

【解析】

1)對(duì)求導(dǎo),根據(jù)的符號(hào)判斷的單調(diào)性;
2)先分別求出曲線分別在點(diǎn)和點(diǎn)處的切線方程,然后根據(jù)條件證明兩者為不同的直線的方程;
3)先設(shè)直線過點(diǎn)與曲線在點(diǎn)處相切,再設(shè)直線,根據(jù)兩者聯(lián)立得到方程,要求此方程有三個(gè)不等實(shí)根即可.然后構(gòu)造函數(shù),研究該函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)的條件即可.

解:(1)因?yàn)?/span>,

所以

,

所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.

所以上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;

2)因?yàn)?/span>,所以,.

又因?yàn)?/span>,.

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為;

曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

因?yàn)?/span>.所以.所以兩條切線不可能相同.

3)設(shè)直線過點(diǎn)與曲線在點(diǎn)處相切,

設(shè)直線,

消去,得.

因?yàn)檫^點(diǎn)能作曲線的三條切線,

所以關(guān)于的方程有三個(gè)不等實(shí)根.

設(shè),則有三個(gè)零點(diǎn).

,

①若,則,

所以上單調(diào)遞增,至多一個(gè)零點(diǎn),

不符合題意;

②若,則

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.

所以的極大值為,極小值為.

有三個(gè)零點(diǎn),所以,即,

所以;

③若,則

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;

當(dāng),單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,

所以的極大值為,極小值為.

有三個(gè)零點(diǎn),所以,即,

所以,

綜上所述,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.

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