【題目】已知橢圓:的離心率,且過焦點的最短弦長為3.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)分別是橢圓的左、右焦點,過點的直線與曲線交于不同的兩點、,求的內(nèi)切圓半徑的最大值.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)利用離心率,過焦點最短的弦為通徑以及解方程組即可求解.
(2)根據(jù)橢圓的定義設(shè)的內(nèi)切圓的半徑最大轉(zhuǎn)化為最大,,由題意知,直線的斜率不為零,可設(shè)直線的方程為,將直線與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理代入面積式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式,借助函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
(1)由題意可得,解得,,.
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)設(shè),,設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為,
因為的周長為,,
因此最大,就最大.
,
由題意知,直線的斜率不為零,可設(shè)直線的方程為,
由得,
所以,.
又因直線與橢圓交于不同的兩點,故,
即,,
則.
令,則,
,
令,
由函數(shù)的性質(zhì)可知,函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù),
即當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,因此有,所以,
即當(dāng),時,最大,此時,
故當(dāng)直線的方程為時,內(nèi)切圓半徑的最大值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】西安市自2017年5月啟動對“車不讓人行為”處罰以來,斑馬線前機動車搶行不文明行為得以根本改變,斑馬線前禮讓行人也成為了一張新的西安“名片”.
但作為交通重要參與者的行人,闖紅燈通行卻頻有發(fā)生,帶來了較大的交通安全隱患及機動車通暢率降低,交警部門在某十字路口根據(jù)以往的檢測數(shù)據(jù),得到行人闖紅燈的概率約為0.4,并從穿越該路口的行人中隨機抽取了200人進行調(diào)查,對是否存在闖紅燈情況得到列聯(lián)表如下:
30歲以下 | 30歲以上 | 合計 | |
闖紅燈 | 60 | ||
未闖紅燈 | 80 | ||
合計 | 200 |
近期,為了整頓“行人闖紅燈”這一不文明及項違法行為,交警部門在該十字路口試行了對闖紅燈行人進行經(jīng)濟處罰,并從試行經(jīng)濟處罰后穿越該路口行人中隨機抽取了200人進行調(diào)查,得到下表:
處罰金額(單位:元) | 5 | 10 | 15 | 20 |
闖紅燈的人數(shù) | 50 | 40 | 20 | 0 |
將統(tǒng)計數(shù)據(jù)所得頻率代替概率,完成下列問題.
(Ⅰ)將列聯(lián)表填寫完整(不需寫出填寫過程),并根據(jù)表中數(shù)據(jù)分析,在未試行對闖紅燈行人進行經(jīng)濟處罰前,是否有99.9%的把握認(rèn)為闖紅燈與年齡有關(guān);
(Ⅱ)當(dāng)處罰金額為10元時,行人闖紅燈的概率會比不進行處罰降低多少;
(Ⅲ)結(jié)合調(diào)查結(jié)果,談?wù)勅绾沃卫硇腥岁J紅燈現(xiàn)象.
參考公式: ,其中
參考數(shù)據(jù):
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
1.132 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點的坐標(biāo)為,拋物線的方程為,過作動直線交拋物線于兩點,設(shè)線段的中點為.
(1)若與重合,求直線的方程;
(2)求直線的斜率的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在圓錐中,,是上的動點,是的直徑,,是的兩個三等分點,,記二面角,的平面角分別為,,若,則的最大值是( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),給出下列四個結(jié)論:
①函數(shù)的最小正周期是
②函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)
③函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱
④函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像向左平移個單位得到
其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校學(xué)生會為了解高二年級600名學(xué)生課余時間參加中華傳統(tǒng)文化活動的情況(每名學(xué)生最多參加7場).隨機抽取50名學(xué)生進行調(diào)查,將數(shù)據(jù)分組整理后,列表如下:
參加場數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
占調(diào)查人數(shù)的百分比 | 8% | 10% | 20% | 26% | 18% | m% | 4% | 2% |
則以下四個結(jié)論中正確的是( )
A.表中m的數(shù)值為10
B.估計該年級參加中華傳統(tǒng)文化活動場數(shù)不高于2場的學(xué)生約為108人
C.估計該年級參加中華傳統(tǒng)文化活動場數(shù)不低于4場的學(xué)生約為216人
D.若采用系統(tǒng)抽樣方法進行調(diào)查,從該校高二600名學(xué)生中抽取容量為30的樣本,則分段間隔為15
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),函數(shù).
(1)若,求曲線在點處的切線方程;
(2)若無零點,求a的取值范圍;
(3)若有兩個相異零點、,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓O;x2+y2=4,F(xiàn)1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),點D圓O上一動點,2=,點C在直線EF1上,且=0,記點C的軌跡為曲線W.
(1)求曲線W的方程;
(2)已知N(4,0),過點N作直線l與曲線W交于A,B不同兩點,線段AB的中垂線為l',線段AB的中點為Q點,記P與y軸的交點為M,求|MQ|的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為響應(yīng)黨中央號召,學(xué)校以“我們都是追夢人”為主題舉行知識競賽,F(xiàn)有10道題,其中6道甲類題,4道乙類題,王同學(xué)從中任取3道題解答.
(Ⅰ)求王同學(xué)至少取到2道乙類題的概率;
(Ⅱ)如果王同學(xué)答對每道甲類題的概率都是,答對每道乙類題的概率都是,且各題答對與否相互獨立,已知王同學(xué)恰好選中2道甲類題,1道乙類題,用表示王同學(xué)答對題的個數(shù),求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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