Question

【題目】已知, .

（1）求函數(shù)的增區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并說明理由；

（3）設(shè)正實(shí)數(shù)， 滿足，當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意的兩個(gè)正實(shí)數(shù)， 總有.

(參考求導(dǎo)公式： )

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】試題分析：(1)求導(dǎo)，對(duì)進(jìn)行分類討論，可得函數(shù)的增區(qū)間；

（2）由（1）知：若函數(shù)在的上為增函數(shù)，函數(shù)有至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意.

若 可知

要使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則

以下證明函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)即可

（3）證明：不妨設(shè)，以為變量

令，

則

可以證明 ，所以在單調(diào)遞增；因?yàn)?/span>所以

這樣就證明了

試題解析：(1)由已知，令，

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)的增區(qū)間

若 令，

函數(shù)的增區(qū)間為

綜合以上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間；若增區(qū)間為

（2）由（1）知：若函數(shù)在的上為增函數(shù)，函數(shù)有至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意。

若 當(dāng)， ，函數(shù)在的上為減函數(shù)

當(dāng) ，函數(shù)在的上為增函數(shù)

要使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則

下證明： 函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)

而，所以在存在惟一零點(diǎn)；

又

令 所以在上遞增，

所以的 所以在也存在惟一零點(diǎn)；

綜上： 函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)

方法2：(先證： 有)

而

，所以在也存在惟一零點(diǎn)；

綜上： ，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)。

（3）證明：不妨設(shè)，以為變量

令，

則

令，則

因?yàn)?/span>，所以；即在定義域內(nèi)遞增。

又因?yàn)?/span>且所以即，所以；又因?yàn)?/span>，所以

所以在單調(diào)遞增；因?yàn)?/span>所以

即