【題目】一個(gè)簡單圖中兩兩相鄰的t個(gè)項(xiàng)點(diǎn)稱為一個(gè)團(tuán),與其余每個(gè)頂點(diǎn)均相鄰的頂點(diǎn)稱為中心點(diǎn).給定整數(shù)及滿足的整數(shù)k,一個(gè)n階簡單圖G中不存在k+1團(tuán),其全部k團(tuán)記為.

(1)證明:;

(2)若在圖G中再添加一條邊就存在k+1團(tuán),求圖G的中心點(diǎn)個(gè)數(shù)的最小值.

【答案】(1)見解析;(2)見解析

【解析】

將題給方程兩邊模3得.從而,.

.

1.當(dāng)y=1時(shí),原方程為.

上式兩邊模13得.

從而,.記.

則原方程化為

兩邊模5得.

從而,

則式兩邊模16得,矛盾.

2.當(dāng)時(shí),原方程兩邊模8得.

從而,.記.

則原方程化為.

.

注意到,.

由方程組

兩邊模4得.

從而,y為奇數(shù).

則式兩邊模5得,矛盾.

故方程組無解.

由方程組

上式兩邊模4得.

從而,y為偶數(shù).

,則原方程化為

.

注意到,.

.

,由,等式兩邊模4得.

從而,.

,則原方程化為.

注意到,.

.

但此時(shí),,矛盾.

,,.

.

四、1.記.

即證

當(dāng)m=1時(shí),.

假設(shè)式成立.

對m,記,,.

,.

下面證明:

因?yàn)榧螩中每個(gè)點(diǎn)與集合A中所有點(diǎn)相鄰,所以,組成團(tuán),但不是k+1團(tuán).

.

于是,由式

故式對正整數(shù)m也成立.

由數(shù)學(xué)歸納法,不等式得證.

2.本題條件中“差一條邊就含k+1團(tuán)”,屬于“極圖”特征.此時(shí),有.

事實(shí)上,假設(shè).則存在圖G的某個(gè)頂點(diǎn),從而,頂點(diǎn)v必與集合中某個(gè)頂點(diǎn)u不相鄰.否則,構(gòu)成k+1團(tuán),與極圖G矛盾.現(xiàn)添上一條邊vu,由題設(shè)條件,知圖G存在k+1團(tuán),記作,則是圖G的一個(gè)k團(tuán),亦矛盾.

記圖G中全部中心點(diǎn)的集合為C.則.

再由1得.

構(gòu)造等號成立的例子.令.

其中,除點(diǎn)不相鄰?fù),其他任意兩點(diǎn)均相鄰.則該圖G的中心點(diǎn)的集合為,并且不存在k+1團(tuán)(因?yàn)槿稳DG的k+1個(gè)頂點(diǎn),總包含一點(diǎn)對、,但任意添加一條邊 ,總能出現(xiàn)k+1團(tuán),G是極圖.

故圖G中心點(diǎn)個(gè)數(shù).

綜上,圖G中心點(diǎn)個(gè)數(shù)的最小值為 .

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年度

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

年份序號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

利潤

6

7

8

9

10

10

11

12

13

13

14

(Ⅰ)散點(diǎn)圖如圖所示,根據(jù)散點(diǎn)圖指出年利潤(單位:萬元)和年份序號之間是否具有線性關(guān)系?并用相關(guān)系數(shù)說明用線性回歸模型描述年凈利潤與年份序號之間關(guān)系的效果;

(Ⅱ)試用線性回歸模型描述年凈利潤與年份序號之間的關(guān)系:求出年凈利潤關(guān)于年份序號的回歸方程(系數(shù)精確到0.1),并幫小張估計(jì)他2019年可能賺到的凈利潤.

附注:參考數(shù)據(jù)

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項(xiàng)目二:通信設(shè)備據(jù)市場調(diào)研,投資到該項(xiàng)目上,到年底可能獲利50%,可能損失30%,也可能不賠不賺,且這三種情況發(fā)生的概率分別為.針對以上兩個(gè)投資項(xiàng)目,請你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目,并說明理由.

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自律性一般

自律性強(qiáng)

合計(jì)

成績優(yōu)秀

40

成績一般

20

合計(jì)

50

100

1)補(bǔ)全列聯(lián)表中的數(shù)據(jù);

2)判斷是否有的把握認(rèn)為學(xué)生的自律性與學(xué)生成績有關(guān).

參考公式及數(shù)據(jù):.

0.10

0.05

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

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