【題目】如圖所示,在四棱柱中,側(cè)棱底面,,,,,,.
(1)求證:平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)取的中點(diǎn),連接,證明出四邊形為平行四邊形,由此可得出各邊邊長,利用勾股定理逆定理可證明出,進(jìn)而得出,再由側(cè)棱底面,可得出,利用線面垂直的判定定理可證明出平面;
(2)以為原點(diǎn),、、的方向?yàn)?/span>、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,計(jì)算出平面的一個(gè)法向量,利用空間向量法可求出直線與平面所成角的正弦值.
(1)取的中點(diǎn),連接.
,,四邊形為平行四邊形,
且.
在中,,,,,,即,又,所以.
平面,平面,.
又,平面;
(2)以為原點(diǎn),、、的方向?yàn)?/span>、、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,
所以,,.
設(shè)平面的法向量,則由,得,
取,得.
設(shè)直線與平面所成角為,
則.
因此,直線與平面所成角的正弦值為.
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【題目】已知為正整數(shù),集合的個(gè)三元子集,,…,滿足:對(duì)任何的其他三元子集,均存在整數(shù)和子集使得.求的最小值.
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【題目】已知函數(shù)
(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若,函數(shù)在處取得極小值,證明:.
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【題目】已知圓與定點(diǎn),動(dòng)圓過點(diǎn)且與圓相切.
(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程;
(2)若過定點(diǎn)的直線交軌跡于不同的兩點(diǎn)、,求弦長的最大值.
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【題目】一個(gè)簡(jiǎn)單圖中兩兩相鄰的t個(gè)項(xiàng)點(diǎn)稱為一個(gè)團(tuán),與其余每個(gè)頂點(diǎn)均相鄰的頂點(diǎn)稱為中心點(diǎn).給定整數(shù)及滿足的整數(shù)k,一個(gè)n階簡(jiǎn)單圖G中不存在k+1團(tuán),其全部k團(tuán)記為.
(1)證明:;
(2)若在圖G中再添加一條邊就存在k+1團(tuán),求圖G的中心點(diǎn)個(gè)數(shù)的最小值.
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【題目】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)在橢圓:上,該橢圓的左頂點(diǎn)到直線的距離為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若橢圓外一點(diǎn)滿足,平行于軸,,動(dòng)點(diǎn)在直線上,滿足.設(shè)過點(diǎn)且垂直的直線,試問直線是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn),請(qǐng)寫出該定點(diǎn),若不過定點(diǎn)請(qǐng)說明理由.
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【題目】“中國式過馬路”的大意是湊夠一撮人即可走,跟紅綠燈無關(guān).部分法律專家的觀點(diǎn)為“交通規(guī)則的制定目的就在于服務(wù)城市管理,方便行人,而‘中國式過馬路’是對(duì)我國法治化進(jìn)程的嚴(yán)重阻礙,反應(yīng)了國人規(guī)則意識(shí)的淡薄.”某新聞媒體對(duì)此觀點(diǎn)進(jìn)行了網(wǎng)上調(diào)查,所有參與調(diào)查的人中,持“支持”“中立”和“不支持”態(tài)度的人數(shù)如表所示:
支持 | 中立 | 不支持 | |
20歲以下 | 700 | 450 | 200 |
20歲及以上 | 200 | 150 | 300 |
在所有參與調(diào)查的人中,用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取人,則持“支持”態(tài)度的人中20歲及以上的有_________人
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【題目】甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語活動(dòng),每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語,在一輪活動(dòng)中,如果兩人都猜對(duì),則“星隊(duì)”得3分;如果只有一個(gè)人猜對(duì),則“星隊(duì)”得1分;如果兩人都沒猜對(duì),則“星隊(duì)”得0分。已知甲每輪猜對(duì)的概率是,乙每輪猜對(duì)的概率是;每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響。各輪結(jié)果亦互不影響。假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng),求:
(Ⅰ)“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語的概率;
(Ⅱ)“星隊(duì)”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.
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