Question

【題目】已知為正整數(shù)，集合的個三元子集，，…，滿足：對任何的其他三元子集，均存在整數(shù)和子集使得．求的最小值．

Answer 1

【答案】

【解析】

若、、，且，

則稱是長為的“循環(huán)組”，并約定、、為同一個循環(huán)組．

考慮長為的循環(huán)組的數(shù)目．

、、、中有兩個相等的循環(huán)組有個；

若，、、、互不相等的循環(huán)組個數(shù)為；

若，互不相等的循環(huán)組個數(shù)為．

綜上，長為的不同循環(huán)組的總個數(shù)為．

對于每個長為的循環(huán)組，取集合的一個三元子集，存在一個子集與之對應(yīng)，且易驗證不同的循環(huán)組對應(yīng)的子集也不同，從而，．

另一方面，對于前面的個循環(huán)組中的每個，取與之對應(yīng)的子集，共得到個不同子集．

接下來說明這些子集滿足要求．

事實上，對集合的每個子集（不妨設(shè)），

令，，．

則得到一個長為的循環(huán)組，

該循環(huán)組對應(yīng)的子集滿足存在整數(shù)（或或）使得

．

綜上，．