Question

【題目】已知函數(shù)， ，其中為常數(shù).

（1）當(dāng)，且時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；

（2）已知， ，若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)， 有6個(gè)零點(diǎn)，試確定的值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析.（2）.

【解析】試題分析：（1）求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得的極值；（2）若函數(shù)存在2個(gè)零點(diǎn)，則方程有2個(gè)不同的實(shí)根，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象可得，而有6個(gè)零點(diǎn)，故方程與都有三個(gè)不同的解，可得,結(jié)合可得結(jié)果.

試題解析：（1）因?yàn)?/span>，所以，令或（舍）.

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞減； 時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增.

因此的極小值為，無(wú)極大值.

（2）若函數(shù)存在2個(gè)零點(diǎn)，則方程有2個(gè)不同的實(shí)根，設(shè)，

則.令，得；

令，得，或， 所以在區(qū)間， 內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，令，可得，所以， ； ， ，因此函數(shù)的草圖如圖所示，

所以的極小值為.

由的圖象可知.

因?yàn)?/span>，所以令，得或，即或，

而有6個(gè)零點(diǎn)，故方程與都有三個(gè)不同的解，所以，且，所以.

又因?yàn)?/span>， ，所以.