Question

【題目】火電廠、核電站的循環(huán)水自然通風(fēng)冷卻塔是一種大型薄殼型構(gòu)筑物。建在水源不十分充足的地區(qū)的電廠，為了節(jié)約用水，需建造一個(gè)循環(huán)冷卻水系統(tǒng)，以使得冷卻器中排出的熱水在其中冷卻后可重復(fù)使用，大型電廠采用的冷卻構(gòu)筑物多為雙曲線型冷卻塔.此類冷卻塔多用于內(nèi)陸缺水電站，其高度一般為75~150米，底邊直徑65~120米. 雙曲線型冷卻塔比水池式冷卻構(gòu)筑物占地面積小，布置緊湊，水量損失小，且冷卻效果不受風(fēng)力影響；它比機(jī)力通風(fēng)冷卻塔維護(hù)簡(jiǎn)便，節(jié)約電能；但體形高大，施工復(fù)雜，造價(jià)較高.（以上知識(shí)來(lái)自百度，下面題設(shè)條件只是為了適合高中知識(shí)水平，其中不符合實(shí)際處請(qǐng)忽略.）

（1）如圖為一座高100米的雙曲線冷卻塔外殼的簡(jiǎn)化三視圖（忽略壁厚），其底面直徑大于上底直徑，已知其外殼主視圖與左視圖中的曲線均為雙曲線，高度為100，俯視圖為三個(gè)同心圓，其半徑分別40，，30，試根據(jù)上述尺寸計(jì)算視圖中該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（為長(zhǎng)度單位米）；

（2）試?yán)�用課本中推導(dǎo)球體積的方法，利用圓柱和一個(gè)倒放的圓錐，計(jì)算封閉曲線：，，繞軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體的體積多少？（用表示）.（用積分計(jì)算不得分）現(xiàn)已知雙曲線冷卻塔是一個(gè)薄殼結(jié)構(gòu)，為計(jì)算方便設(shè)其內(nèi)壁所在曲線也為雙曲線，其壁最厚為0.4（底部），最薄處厚度為0.3（喉部，即左右頂點(diǎn)處），試計(jì)算該冷卻塔內(nèi)殼所在的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是？并計(jì)算本題中的雙曲線冷卻塔的建筑體積（內(nèi)外殼之間）大約是多少；（計(jì)算時(shí)取3.14159，保留到個(gè)位即可）

（3）冷卻塔體型巨大，造價(jià)相應(yīng)高昂，本題只考慮地面以上部分的施工費(fèi)用（建筑人工和輔助機(jī)械）的計(jì)算，鋼筋土石等建筑材料費(fèi)用和和其它設(shè)備等施工費(fèi)用不在本題計(jì)算范圍內(nèi).超高建筑的施工（含人工輔助機(jī)械等）費(fèi)用隨著高度的增加而增加，現(xiàn)已知：距離地面高度30米（含30米）內(nèi)的建筑，每立方米的施工費(fèi)用平均為：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工費(fèi)用為800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工費(fèi)用增加100元.試計(jì)算建造本題中冷卻塔的施工費(fèi)用（精確到萬(wàn)元）.

Answer 1

【答案】（1），；（2），，；（3）萬(wàn)元.

【解析】

（1）由最窄處距離可求得；根據(jù)時(shí)，；時(shí)，，可構(gòu)造方程求得，從而得到雙曲線方程；（2）首先求得雙曲線旋轉(zhuǎn)體的體積和內(nèi)層雙曲線方程，計(jì)算得到體積差的函數(shù)關(guān)系式，分別代入和可求得體積差，加和得到所求體積；（3）由（2）可推得高度時(shí)的幾何體體積；將在高度米以內(nèi)的薄殼體積的建筑費(fèi)用分為高度米以內(nèi)和高度在米之間兩類分別計(jì)算；設(shè)超過(guò)米部分，每高米的環(huán)形建筑物的體積構(gòu)成數(shù)列，其相應(yīng)的每立方米的施工費(fèi)用對(duì)應(yīng)為等差數(shù)列，易得通項(xiàng)公式；由雙曲線對(duì)稱性可知，進(jìn)而可計(jì)算出此部分對(duì)應(yīng)的建筑費(fèi)用；綜合三部分的費(fèi)用即可得到結(jié)果.

（1）最窄處即雙曲線兩頂點(diǎn)間

設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

由題意知：當(dāng)（地面半徑）時(shí)對(duì)應(yīng)的值是；當(dāng)時(shí)，的值為

，解得：

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，

（2）高為的雙曲線旋轉(zhuǎn)體的體積是：

其旋轉(zhuǎn)體相當(dāng)于一個(gè)底面半徑為，高為的圓柱與底面半徑為，高為倒立圓錐的體積之和.

計(jì)算內(nèi)層雙曲線方程為：

高為時(shí)雙曲線旋轉(zhuǎn)體的體積差為：

當(dāng)與時(shí)，計(jì)算上述體積差，分別為，，合計(jì)約為立方米

冷卻塔的建筑體積約為立方米

（3）由（2）知高為的雙曲線冷卻塔殼體體積為立方米

立方米

當(dāng)高度時(shí)，其幾何體體積為：

于是在高度米以內(nèi)的薄殼體積的建筑費(fèi)用：

第一部分，高度米以內(nèi)的體積：

相應(yīng)施工費(fèi)用為：（元）

第二部分，高度在米之間的部分體積

相應(yīng)施工費(fèi)用為：（元）

設(shè)超過(guò)米部分，每高米的環(huán)形建筑物的體積構(gòu)成數(shù)列，其相應(yīng)的每立方米的施工費(fèi)用對(duì)應(yīng)為等差數(shù)列

注意到雙曲線的對(duì)稱性，本題中的冷卻塔喉部在高度米處，其上方米，下方處恰為高度米處，于是

又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列

這部分費(fèi)用為：

其中為（2）中時(shí)殼體的體積，其值約為

這部分施工費(fèi)用約為（元）

綜上，本題中所求的施工總費(fèi)用元，約萬(wàn)元