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【題目】對于函數，若在定義域存在實數，滿足，則稱為“局部奇函數”.

（1）已知二次函數，試判斷是否為“局部奇函數”?并說明理由；

（2）設是定義在上的“局部奇函數”，求實數的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析；(2)

【解析】試題分析：（1）本題實質就是解方程，如果這個方程有實數解，就說明是“局部奇函數”，如果這個方程無實數解，就說明不是“局部奇函數”，易知有實數解，因此答案是肯定的；（2）已經明確是“局部奇函數”，也就是說方程一定有實數解，問題也就變成方程在上有解，求參數的取值范圍，又方程可變形為，因此求的取值范圍，就相當于求函數 的值域，用換元法（設），再借助于函數的單調性就可求出.

試題解析：(1) 為“局部奇函數”等價于關于的方程有解．

即 （3分）

有解 為“局部奇函數”．（5分）

(2)當時, 可轉化為（8分）

因為的定義域為,所以方程在上有解,令,（9分）

則

因為在上遞減,在上遞增, （11分）

（12分）

即（14分）

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2018年為我國改革開放40周年，某事業(yè)單位共有職工600人，其年齡與人數分布表如下：

年齡段

人數（單位：人）

180

180

160

80

約定：此單位45歲59歲為中年人，其余為青年人，現按照分層抽樣抽取30人作為全市慶祝晚會的觀眾.

（1）抽出的青年觀眾與中年觀眾分別為多少人？

（2）若所抽取出的青年觀眾與中年觀眾中分別有12人和5人不熱衷關心民生大事，其余人熱衷關心民生大事.完成下列2×2列聯表，并回答能否有90%的把握認為年齡層與熱衷關心民生大事有關？

熱衷關心民生大事

不熱衷關心民生大事

總計

青年

12

中年

5

總計

30

（3）若從熱衷關心民生大事的青年觀眾（其中1人擅長歌舞，3人擅長樂器）中，隨機抽取2人上臺表演節(jié)目，則抽出的2 人能勝任的2人能勝任才藝表演的概率是多少？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】火電廠、核電站的循環(huán)水自然通風冷卻塔是一種大型薄殼型構筑物。建在水源不十分充足的地區(qū)的電廠，為了節(jié)約用水，需建造一個循環(huán)冷卻水系統(tǒng)，以使得冷卻器中排出的熱水在其中冷卻后可重復使用，大型電廠采用的冷卻構筑物多為雙曲線型冷卻塔.此類冷卻塔多用于內陸缺水電站，其高度一般為75~150米，底邊直徑65~120米. 雙曲線型冷卻塔比水池式冷卻構筑物占地面積小，布置緊湊，水量損失小，且冷卻效果不受風力影響；它比機力通風冷卻塔維護簡便，節(jié)約電能；但體形高大，施工復雜，造價較高.（以上知識來自百度，下面題設條件只是為了適合高中知識水平，其中不符合實際處請忽略.）

（1）如圖為一座高100米的雙曲線冷卻塔外殼的簡化三視圖（忽略壁厚），其底面直徑大于上底直徑，已知其外殼主視圖與左視圖中的曲線均為雙曲線，高度為100，俯視圖為三個同心圓，其半徑分別40，，30，試根據上述尺寸計算視圖中該雙曲線的標準方程（為長度單位米）；

（2）試利用課本中推導球體積的方法，利用圓柱和一個倒放的圓錐，計算封閉曲線：，，繞軸旋轉形成的旋轉體的體積多少？（用表示）.（用積分計算不得分）現已知雙曲線冷卻塔是一個薄殼結構，為計算方便設其內壁所在曲線也為雙曲線，其壁最厚為0.4（底部），最薄處厚度為0.3（喉部，即左右頂點處），試計算該冷卻塔內殼所在的雙曲線標準方程是？并計算本題中的雙曲線冷卻塔的建筑體積（內外殼之間）大約是多少；（計算時取3.14159，保留到個位即可）

（3）冷卻塔體型巨大，造價相應高昂，本題只考慮地面以上部分的施工費用（建筑人工和輔助機械）的計算，鋼筋土石等建筑材料費用和和其它設備等施工費用不在本題計算范圍內.超高建筑的施工（含人工輔助機械等）費用隨著高度的增加而增加，現已知：距離地面高度30米（含30米）內的建筑，每立方米的施工費用平均為：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工費用為800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工費用增加100元.試計算建造本題中冷卻塔的施工費用（精確到萬元）.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面是直角梯形， ， ，

，點在線段上，且， ， 平面.

（1）求證：平面平面；

（2）當四棱錐的體積最大時，求四棱錐的表面積.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】變量滿足約束條件則目標函數的取值范圍是___.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知實數使得函數在定義域內為增函數；實數使得函數在上存在兩個零點，且

分別求出條件中的實數的取值范圍；

甲同學認為“是的充分條件”，乙同學認為“是的必要條件”，請判斷兩位同學的說法是否正確，并說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在長方體中，，點為的中點．

（1）求證：直線平面；

（2）求證：平面平面；

（3）求直線與平面的夾角．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，分別過橢圓左、右焦點的動直線相交于點，與橢圓分別交于與不同四點，直線的斜率滿足．已知當與軸重合時，，.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存在定點，使得為定值？若存在，求出點坐標并求出此定值；若不存在，說明理由．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），和.

【解析】試題分析：（1）當與軸重合時，垂直于軸，得,得,從而得橢圓的方程；（2）由題目分析如果存兩定點，則點的軌跡是橢圓或者雙曲線 ，所以把坐標化，可得點的軌跡是橢圓，從而求得定點和點.

試題解析：當與軸重合時，, 即,所以垂直于軸，得，，, 得,橢圓的方程為.

焦點坐標分別為, 當直線或斜率不存在時，點坐標為或;

當直線斜率存在時，設斜率分別為, 設由, 得：

, 所以:，, 則：

. 同理：, 因為

, 所以, 即, 由題意知, 所以

， 設，則，即，由當直線或斜率不存在時，點坐標為或也滿足此方程，所以點在橢圓上.存在點和點，使得為定值，定值為.

考點：圓錐曲線的定義，性質，方程.

【方法點晴】本題是對圓錐曲線的綜合應用進行考查，第一問通過兩個特殊位置，得到基本量，，得,,從而得橢圓的方程，第二問由題目分析如果存兩定點，則點的軌跡是橢圓或者雙曲線 ，本題的關鍵是從這個角度出發(fā)，把坐標化，求得點的軌跡方程是橢圓，從而求得存在兩定點和點.

【題型】解答題
【結束】
21

【題目】已知，，.

（Ⅰ）若，求的極值；

（Ⅱ）若函數的兩個零點為，記，證明：．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某校為了解學生一次考試后數學、物理兩個科目的成績情況，從中隨機抽取了25位考生的成績進行統(tǒng)計分析．25位考生的數學成績已經統(tǒng)計在莖葉圖中，物理成績如下：

（Ⅰ）請根據數據在答題卡的莖葉圖中完成物理成績統(tǒng)計；

（Ⅱ）請根據數據在答題卡上完成數學成績的頻數分布表及數學成績的頻率分布直方圖；

數學成績分組

[50，60﹚

[60，70﹚

[70，80﹚

[80，90﹚

[90，100﹚

[100，110﹚

[110，120]

頻數

（Ⅲ）設上述樣本中第i位考生的數學、物理成績分別為xi，yi（i=1，2，3，…，25）．通過對樣本數據進行初步處理發(fā)現：數學、物理成績具有線性相關關系，得到：=86，=64，（xi-）（yi-）=4698，（xi-）2=5524，≈0.85．求y關于x的線性回歸方程，并據此預測當某考生的數學成績?yōu)?/span>100分時，該考生的物理成績（精確到1分）．

附：回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：=，=-．

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